ML学习二——单变量线性回归

2-1模型描述

我们要使用一个数据集，数据集包含俄勒冈州波特兰市的住房价格。在这里，我要根据不同房屋尺寸所售出的价格，画出我的数据集。比方说，如果你朋友的房子是1250平方尺大小，你要告诉他们这房子能卖多少钱。

你可以做的一件事就是构建一个模型，也许是条直线，从这个数据模型上来看，也许你可以告诉你的朋友，他能以大约220000(美元)左右的价格卖掉这个房子。这就是监督学习算法的一个例子。

我将在整个课程中用小写m的来表示训练样本的数目。

以之前的房屋交易问题为例，假使我们回归问题的训练集（Training Set）如下表所示

我们将要用来描述这个回归问题的标记如下:

m 代表训练集中实例的数量

x 代表特征/输入变量

y 代表目标变量/输出变量

(x , y) 代表训练集中的实例

代表第 个观察实例

h 代表学习算法的解决方案或函数也可以称为假设（hypothesis）

我们可以看到这里有我们的训练集里房屋价格 我们把它给我们的学习算法，学习算法的工作，然后输出一个函数，通常表示为小写  h 表示。

代表hypothesis(假设)，表示一个函数，输入是房屋尺寸大小，就像你朋友想出售的房屋，因此 h 根据输入的 x 值来得出 y 值，y 值对应房子的价格 。因此，h 是一个从x 到 y 的函数映射。

那么，对于我们的房价预测问题，我们该如何表达 h ？

一种可能的表达方式为：，因为只含有一个特征/输入变量（房屋的面积），因此这样的问题叫作单变量线性回归问题。

2-2代价函数

我们将定义代价函数的概念，这有助于我们弄清楚如何把最有可能的直线与我们的数据相拟合。

 在线性回归中我们有一个像这样的训练集，m 代表了训练样本的数量，比如 m=47。而我们的假设函数是用来进行预测的函数的形式：

 我们会引入一些术语我们现在要做的便是为我们的模型选择合适的参数（parameters），在房价问题这个例子中便是直线的斜率和在 y 轴上的截距。

 建模误差我们选择的参数决定了我们得到的直线相对于我们的训练集的准确程度，模型所预测的值与训练集中实际值之间的差距（下图中蓝线所指）

 我们的目标便是选择出可以使得建模误差的平方和能够最小的模型参数。

我们绘制一个等高线图，三个坐标分别为θ₀和 θ₁和J(θ_0,θ1)：

则可以看出在三维空间中存在一个使得最小的点。

代价函数也被称作平方误差函数，有时也被称为平方误差代价函数。我们之所以要求出误差的平方和，是因为误差平方代价函数，对于大多数问题，特别是回归问题，都是一个合理的选择。

2-3 代价函数的理解（一）

让我们通过一些例子来获取一些直观的感受，看看代价函数到底是在干什么。

接下来我们的例子为θ₀为0的时候的分析

 

 2-4 代价函数的理解（二）

代价函数的样子，等高线图，则可以看出在三维空间中存在一个使得J(θ_0,θ1)最小的点。

假设我们拟合的直线如图所示，现在我们有两个参数 θ_0，θ1，他的代价函数如下图的碗状图形的3D曲面图

在下图展示的是等高图，在等高图上的每一个点都有对应的斜率和截距，越靠近中心的点，直线的拟合程度更高。

 

 通过这些图形，我希望你能更好地理解这些代价函数 J 所表达的值是什么样的，它们对应的假设是什么样的，以及什么样的假设对应的点，更接近于代价函数 J 的最小值。

2-5 梯度下降

梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数 J(θ_0,θ₁) 的最小值。

梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到到到一个局部最小值，因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值，选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。

想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转360度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。每走一步就要思考一下，直到你接近局部最低点的位置

批量梯度下降（batch gradient descent）算法的公式为

其中α是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大，α 越大学习率越大，下山时迈的步子也越大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。

 在梯度下降算法中，这是正确实现同时更新的方法。

2-6 梯度下降的知识点总结

 对 θ 赋值，使得 J( θ ) 按梯度下降最快方向进行，一直迭代下去，最终得到局部最小值。其中是学习率 α（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大。

现在，这条线有一个正斜率，也就是说它有正导数，因此，我得到的新的 θ₁，更新后等于减去一个正数乘以 θ₁。

让我们来看看如果 α 太小或太大会出现什么情况：

如果  α 太小了，即我的学习速率太小，结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动，去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点。

如果 α 太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果太大，它会导

致无法收敛，甚至发散。

如果你的参数已经处于局部最低点，斜率为0，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率 α 保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。

 

在梯度下降法中，当我们接近局部最低点时，梯度下降法会自动采取更小的幅度，这是因为当我们接近局部最低点时，很显然在局部最低时导数等于零，所以当我们接近局部最低时，导数值会自动变得越来越小，所以梯度下降将自动采取较小的幅度，这就是梯度下降的做法。

2-7 线性回归的梯度下降

梯度下降算法和线性回归算法比较如图：

对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法，关键在于求出代价函数的导数，即：

 

我们刚刚使用的算法，有时也称为批量梯度下降。指的是在梯度下降的每一步中，我们都用到了所有的训练样本 m，在梯度下降中，在计算微分求导项时，我们需要进行求和运算，所以，在每一个单独的梯度下降中，我们最终都要计算这样一个东西，这个项需要对所有 m 个训练样本求和。

现在我们已经掌握了梯度下降，我们可以在不同的环境中使用梯度下降法，我们还将在不同的机器学习问题中大量地使用它。