数据结构和算法_学习笔记1

数据结构的一些基本概念

数据结构是相互之间存在的一种或多种特定关系的数据元素的集合。

逻辑结构：集合、线性、树形、图形。

物理结构：顺序存储、链接存储。

程序设计=数据结构+算法

数据类型：指一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作的总称。

在C语言中，按照取值的不同，可分两类：

原子类型：不可再分解的基本类型，包括整型、实型、字符型等。

结构类型：由若干个类型组合而成，可再分解。例如，整型数组。

抽象是指抽取出事物具有的普遍性的本质。

算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

两种算法的比较

public class Sum{
       public static void main(String[] args){
              int sum = 0, n= 100;     //执行1次
              for(int i=1; i<=n; i++){       //执行n+1次
                     sum += i;       //执行n次
              }
              System.out.println(sum);       //执行1次           
              sum = (1+100)*n/2;       //执行1次
              System.out.println(sum);       //执行1次
       }
}

<?php
$sum = $sum2 = 0;
$m = 1;
$n = 100;
for($i=$m; $i<=$n; $i++){
       $sum += $i;
}
$sum2 = ($m + $n) * $n / 2;
echo $sum,$sum2;
?>

算法的五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

算法的输入可以是零个，至少有一个或多个输出，输出的形式可以是打印输出，也可以是返回一个或多个值等。

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

可行性：算法的每一步都必须是可行的，每一步都能够通过执行有限次数完成。

算法设计的要求

正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低。

算法效率的度量方法：是骡子是马，拉出来遛遛。

事后统计方法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较。

       1. 编制测试程序需要时间

       2. 依赖计算机硬件和软件等环境因素

       3. 测试数据设计困难，如数据量小的话很难体现算法差异

事前统计方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

1. 算法采用的策略、方法
2. 编译产生的代码质量
3. 问题的输入规模
4. 机器执行指令的速度

函数的渐进增长

n的 取值              1     2     3     10    100  1000

算法A：2n+3       5     7     9     23    203  2003

算法B：3n+1              4     7     10    31    301  3001

当n>2时，算法A开始优于算法B，随着n的增加，算法A比算法B越来越好了。

函数渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)。

算法时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记住：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

大写O()的记法称之为O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

O(1)叫常数阶、O(n)线性阶、O(n)2平方阶

推导大O阶方法

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

常数阶

高斯算法

int sum = 0, n = 100;     //执行1次

sum = (1+100)*n/2;       //执行1次

System.out.println(sum);       //执行1次

该算法的运行次数函数是f(3)。根据推导大O阶的方法，第一步将常数项3改为1。没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

对于分支结构而，无论是真、还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

线性阶

分析算法的复杂度，关键是要分析循环结构的运行情况。

对数阶：O(logn)

平方阶：O(n2)

常见的时间复杂度

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<o(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)

最坏情况和平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的要求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

算法空间复杂度：算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。