[学习][Math]康托展开和逆康托展开

一、康托展开

问题：{1,2,3,4,5}5个数的全排列中，{2,3,1,5,4}排字典序的第几位？

解决：计算{2,3,1,5,4}的康托展开值：x=a[1]*4!+a[2]*3!+a[3]*2!+a[4]*1!+a[5]*0!=1*24+1*6+0*2+1*1+0*0=31, 所以{2,3,1,5,4}排字典序第32位

解释：计算{2,3,1,5,4}排第几位，就要计算比{2,3,1,5,4}字典序小的排列有几个，而这个就是{2,3,1,5,4}的康托展开值，要如何计算呢，其实很简单：

首先看序列中第一个数2，1~5中比2小的数有1个，因此这就可以生成1*4！个比{2,3,1,5,4}小的序列，即{1,x,x,x,x}

再看第二个数3，1~5(除去2)中比3小的数有1个，因此又可以有1*3！个比{2,3,1,5,4}小的序列，即{2,2,x,x,x}

再看第三个数1，1~5(除去2,3)中比1小的数有0个，因此又有0*2！个比{2,3,1,5,4}小的序列

再看第四个数5，1~5(除去2,3,1)中比5小的数有1个，因此又有1*1！个比{2,3,1,5,4}小的序列，即{2,3,1,4,x}

最后一个数4，1~5(除去2,3,1,5)中比4小的数有0个，因此又有0*0！个比{2,3,1,5,4}小的序列

综上，比{2,3,1,5,4}小的序列共有x=1*4!+1*3!+0*2!+1*1!+0*0!=31个，所以{2,3,1,5,4}排字典序32位

二、逆康托展开

问题：{1,2,3,4,5}的全排列中，字典序排23位的排列是哪一个？

解决：由康托展开值x=a[1]*4!+a[2]*3!+a[3]*2!+a[4]*1!+a[5]*0!=22，逆推出a[1]=22/4!=0,a[2]=22/3!=3,a[3]=4/2!=2,a[4]=0/1!=0,a[5]=0/0!=0,可知，字典序排23位的排列是{1,5,4,2,3}

解释：首先由x=22求得a[1]=x/4!=0,那么第一个数必定是1；

再由x-a[1]*4!=22求得a[2]=22/3!=3,那么第二个数是必定是5；

再由x-a[1]*4!-a[2]*3!=4求得a[3]=4/2!=2,那么第三个数必定是4；

再由x-a[1]*4!-a[2]*3!-a[3]*2!=0求得a[4]=0/1!=0，那么第四个数必定是2；

最后a[5]=0，第五个数是3；

综上，字典序排23位的排列是{1,5,4,2,3}

三、应用

实现序列(全排列之一)到自然数的映射，实现自然数到序列的映射

例1：我排第几个http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=139

例2：第几是谁？http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=143