Matlab图像处理系列4———图像傅立叶变换与反变换

注：本系列来自于图像处理课程实验。用Matlab实现最主要的图像处理算法

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1.Fourier变换

（1）频域增强

除了在空间域内能够加工处理图像以外。我们还能够将图像变换到其它空间后进行处理。这些方法称为变换域方法，最常见的变换域是频域。

使用Fourier变换把图像从空间域变换到频域。在频域内做对应增强处理，再从频域变换到空间域得到处理后的图像。

我们这里主要学习Fourier变换和FFT变换的算法，没有学过通信原理，我对信号、时域分析也不是非常清楚。

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2.FFT算法

（1）离散Fourier变换。DFT

函数f(x)的DFT F(v)的计算式为：

F(v)=∑x=1Nf(x)e−i2πvxN,v=1,2,...,N

非常显然求出全部的长度为N的信号的DFT须要N×O(N)=O(N2)的时间。比較慢，因此我们须要引入时间复杂度为O(NlogN)的FFT算法。

（2）高速Fourier变换，FFT

高速傅立叶变换FFT是利用单位复数根的特殊性质（消去引理和折半引理。见《算法导论》（第3版中文版）P532具体论述），在O(NlogN)时间内计算出DFT的一种高速算法。

FFT有两种基本实现方式：

• 递归FFT
• 迭代FFT，也叫FFT蝶式运算

递归FFT因为递归栈开销大且容量有限等缺陷（但理解easy）。一般计算採取迭代FFT实现。

（3）迭代FFT

直接给出算法导论版本号的迭代FFT算法：

当中求逆序数拷贝的函数为：

FFT採用折半迭代的思想。因此速度能减少到O(NlogN)。

（4）迭代FFTMatlab实现

Matlab有fft函数，我们也能够自己实现：

function [ fft_m ] = IterativeFFT( vec )
    clear i;

    n = length(vec);

    fft_m = BitReverseCopy(vec);
    for s = 1 : log2(n)
        m = power(2, s);
        wm = exp(- 2 * pi * i / m);

        for k = 0 : m : n - 1
            w = 1;
            for j = 0 : m / 2 - 1
                t = w * fft_m(k + j + m / 2 + 1);
                u = fft_m(k + j + 1);
                fft_m(k + j + 1) = u + t;
                fft_m(k + j + m / 2 + 1) = u - t;
                w = w * wm;
            end
        end
    end
end

BitReverseCopy函数例如以下：

function [ copy ] = BitReverseCopy( vec )
    n = length(vec);
    copy = zeros(1, n);

    bitn = log2(n);

    for i = 0 : n - 1
        revi = bin2dec(fliplr(dec2bin(i, bitn)));
        copy(revi + 1) = vec(i + 1);
    end
end

须要特别注意的是:

• 一般给出的FFT算法伪代码都是基于下标从零開始的数组，写在Matlab须要考虑映射关系
• clear i是为了怕之前有变量i和复数记号i混淆，清楚Matlab workspace中的缓存
• 默认vec是double类型的！

  因为中间採用很多double类型运算

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3.图像的二维Fourier变换

（1）二维DFT

二维DFT定义公式为：

F(u,v)=∑x=1N∑y=1Nf(x,y)e−i2π(ux+vy)N,u,v=1,2,...,N

计算一个频域点须要O(N2)的时间，那么整个二维频域计算须要O(N4)的时间，效率非常低。

（2）将二维DFT分解为两个一维DFT

Fourier变换的变换核（公式中和f(x,y)无关的部分）具有对称的性质（详见《图像project（上冊）图像处理》P81），因此利用对称性能够将二维DFT分解为两个一维DFT：
先对二维矩阵的每一列做一维DFT：

F(x,v)=∑y=1Nf(x,y)e−i2πvyN,v=1,2,...,N

再对变换后的矩阵的每一行做一维DFT：

F(u,v)=∑x=1NF(x,v)e−i2πuxN,u=1,2,...,N

最后以2×N×O(N2)=O(N3)的时间完毕二维傅立叶变换。

（3）用一维FFT实现二维FFT

相同的我们能够用两个一维FFT实现二维FFT，时间复杂度O(N2logN)：

function [ mfft2 ] = JCGuoFFT2( data )
    h = size(data, 1);
    w = size(data, 2);
    mfft2 = data;

    if power(2, log2(h)) ~= h || power(2, log2(w)) ~= w
        disp('JCGuoFFT2 exit: h and w must be the power of 2!')
    else
        for i = 1 : h
            mfft2(i, :) = IterativeFFT(mfft2(i, :));
        end

        for j = 1 : w
            mfft2(:, j) = IterativeFFT(mfft2(:, j));
        end
    end
end

代码非常简单。先做FFT行变换再做FFT列变换。之前忘记提到。我这里实现的都是长度必须是2的次方的Fourier变换，因此有时候会做一些长度规范检查。

（4）变换结果

经过JCGuoFFT2的二维傅立叶变换。我们能够得到复平面内各个点的复数值，那么显示在图像中须要先求出幅值：

pic1_fft = JCGuoFFT2(double(pic1));
pic1_fft_amp = abs(pic1_fft);

在对幅值做一次log变换得到较好的频域图像：

pic1_fft_amp_log = log(1 + pic1_fft_amp);

绘制结果例如以下图：

（5）低频信号移到图像中心点

因为复数运算的周期特性。图像的Fourier变换在复平面上是全然对称的，能够想象平面是由无限多个上图（右）频域图像拼接而成的二维阵列。

一般研究频域图像是把低频部分，也就是变换后的边缘部分移到图像中心点，Matlab提供fftshift函数完毕平移。

平移的思路有两个

• 通过Fourier变换平移定理先把原始图像做变换再做FFT
• 先做FFT后再依据频域图像的对称性做对称变换

查阅Matlab文档发现它是採用另外一种方法。对图像做下面子矩阵交换：

那么我们能够非常easy的写出自己的fftshift：

function [ after ] = FFTShift( before )
    h = size(before, 1);
    w = size(before, 2);

    after = before;

    if power(2, log2(h)) ~= h || power(2, log2(w)) ~= w
        disp('FFTShift exit: h and w must be the power of 2!')
    else
        hh = h / 2;
        hw = w / 2;
        after(1 : hh, 1 : hw) = before(hh + 1 : h, hw + 1 : w);
        after(1 : hh, hw + 1 : w) = before(hh + 1 : h, 1 : hw);
        after(hh + 1 : h, 1 : hw) = before(1 : hh, hw + 1 : w);
        after(hh + 1 : h, hw + 1 : w) = before(1 : hh, 1 : hw);
    end
end

将低频部分平移到中心点后结果为：

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4.图像的二维反Fourier变换

（1）一维逆DFT和一维逆FFT

一维离散傅立叶变换的逆变换是将e的指数部分变号，然后总体除以长度N（Fourier变换与逆变换关于符号、系数有非常多种组合的定义，但他们都是等价且对称的。

这里的定义配合Matlab做fft实际效果。

）：

F(v)=1N∑x=1Nf(x)ei2πvxN,v=1,2,...,N

相同我们能够依据iDFT的定义推演iFFT的算法，其迭代版本号的Matlab实现例如以下：

function [ ifft_m ] = IterativeIFFT( vec )
    clear i;
    n = length(vec);
    ifft_m = BitReverseCopy(vec);
    for s = 1 : log2(n)
        m = power(2, s);
        wm = exp(2 * pi * i / m);

        for k = 0 : m : n - 1
            w = 1;
            for j = 0 : m / 2 - 1
                t = w * ifft_m(k + j + m / 2 + 1);
                u = ifft_m(k + j + 1);
                ifft_m(k + j + 1) = u + t;
                ifft_m(k + j + m / 2 + 1) = u - t;
                w = w * wm;
            end
        end
    end
    ifft_m = ifft_m ./ n;
end

（2）二维逆FFT

二维逆FFT和二维FFT的思路一致，对全部行和列分别作一次iFFT就可以：

function [ mifft2 ] = JCGuoIFFT2( data )
    h = size(data, 1);
    w = size(data, 2);
    mifft2 = data;

    if power(2, log2(h)) ~= h || power(2, log2(w)) ~= w
        disp('JCGuoIFFT2 exit: h and w must be the power of 2!')
    else
        for i = 1 : h
            mifft2(i, :) = IterativeIFFT(mifft2(i, :));
        end

        for j = 1 : w
            mifft2(:, j) = IterativeIFFT(mifft2(:, j));
        end
    end
end

（3）逆FFT结果

对之前Rect1.bmp用JCGuoFFT2变换的到的Fourier变换（非shift和log之后、非仅幅度部分）作FFT2逆变换能够直接得到原图像：

这幅图有多个结果。能够看title知道每一个结果的含义，图2-1是用JCGuoIFFT2做傅立叶反变换的结果，得到的图像和原图像、和Matlab ifft2反变换后的图像都是一致的。

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5.幅频特性与相频特性

（1）对振幅和相位单独做逆FFT

假设我们仅仅把图像Fourier变换的振幅部分和相位部分单独做二维逆FFT。能够直观的感受人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

复数z=a+ib的幅度/振幅定义为：

|z|=a2+b2‾‾‾‾‾‾‾√

相位角和相位定义为：

ϕ(z)=arctanbaeiϕ(z)=eiarctanba

对相位反变换须要在乘以一个系数（我是调出来的。针对图像。肯定能够自己主动的做均衡化）：

pic2_fft_angle = angle(pic2_fft);
clear i;
tmp = 10000 * exp(i * pic2_fft_angle);
pic2_ifft_angle = uint8(JCGuoIFFT2(tmp));

对振幅和相位单独做逆FFT结果例如以下：

（2）人眼敏感度

观察上图。幅频特性主要涵盖了图像颜色的分布，相频特性主要刻画了图像的边界信息。人眼对图像的相频特性更加敏感，看相频特性能够大概知道图像内容。

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6.Fourier变换的旋转定理

（1）Fourier变换旋转定理

将f(x,y)旋转角度θ0，其Fourier变换F(u,v)也旋转角度θ0

（2）结果

Rect2.bmp是Rect1.bmp旋转45度的示意图（注：原Rect2.bmp是二值的，做了预处理，但其本身边界不平滑。导致效果不太好。但不影响观察旋转定理）：

我们能够看到幅度FFT正变换和相位FFT你变换都是旋转了45度，可是幅度FFT逆变换差别较大。

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