• 图的割点与割边(超详细!!!)


    ·割点

    割点概念,应该很好理解:

    在一个无向图中,如果删除某个顶点,这个图就不再连通(任意两点之间无法相互到达),那么这个顶点就是这个图的割点。 举个例子:

    图中的2号顶点就是割点, 删除2号后,4,5不通,1,6也不通等等

    如何求割点?

    很容易想到的方法是:依次删除每一个顶点,然后用dfs或者bfs来检查图是否依然连通。如果删除某个顶点后,导致图不再连通,那么刚才删除的顶点就是割点。

    这种方法的时间复杂度是O(N(N+M))。

    下面寻找复杂度低的方法来解决。

    首先从图中任意节点开始dfs遍历上图,得到一颗生成树, 如下图,圆圈中数字是顶点编号, 圆圈右上角的数表示这个顶点在遍历时是第几个被访问到的,叫做“时间戳”。

    在遍历的时候一定会遇到割点, 关键是如何认定一个顶点是割点呢???

    在深度优先遍历的时候访问到u(点2)点,此时图被u (点2)分割成两部分,一部分为已访问点,另一部分为未访问点。如果u是割点,那剩下的未被访问点中至少有一个点在不经过点k的情况下无论如何也回不到已访问的点。

    基本思路:

    假如到了u后,图中还有顶点v是没有访问过的点,如何判断v在不经过u的情况下是否还能回到之前访问过的任意一个点?u是v的父亲,而之前访问过的顶点就是祖先。 也就是如何检测v在不经过父亲u的情 况下还能否回到祖先。那就是对v再 进行一次dfs,但此次遍历不经过u, 看能否回到祖先。不能u即为割点。

    再定义一个数组low来记录每个顶点在不经过父顶点时,能够回到的最小“时间戳”。

    对于某个顶点u,如果存在至少一个顶点v(u的儿子),使得low[v]>=num[u],即不能回到祖先,那么u点为割点。

     

    ·割边

    除了割点还有一种问题是求割边(也称桥),即在一个无向图中删除某条边后,图不再连通。

     

    如何求割边?

    只需将求割点的算法修改一个符号就可以。 只需将low[v]>=num[u]改为low[v]>num[u]。

    这是为什么呢?

    low[v]和num[u]相等则表示还可以回到父亲结点; 而low[v]>num[u]则表示连父亲都回不到了。倘若顶点v不能回到祖先,也没有另外的路能回到父亲,那么 u-v 这条边就是割边。

     ·习题

    洛谷P3388 【模板】割点(割顶)

    一本通习题3.【模板】旅游航道(桥)

    --->最近很懒,每天作业很多,所以更题解可能要在碳硫磷考试结束后吧

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