浅谈单调队列优化dp

单调队列，即单调的队列。有时用于优化1D/1D方程。

---

例题 Tyvj1305

时间: 1000ms / 空间: 131072KiB / Java类名: Main

描述

输入一个长度为n的整数序列，从中找出一段不超过M的连续子序列，使得整个序列的和最大。
例如

1，-3,5,1，-2,3
当m=4时，S=5+1-2+3=7
当m=2或m=3时，S=5+1=6  

输入格式

• 第一行两个数n,m
• 第二行有n个数，要求在n个数找到最大子序和

输出格式

• 一个数，数出他们的最大子序和

测试样例

输入

6 4 
1 -3 5 1 -2 3

输出

7

备注

数据范围：
100%满足n,m<=300000

分析

这是一个典型的动态规划题目，不难得出一个1D/1D方程：

f(i) = sum[i]-min{sum[k]|i-M≤k≤i} 

如果不明白这个方程的来历，戳这里

由于方程是1D/1D的，所以我们不想只得出简单的Θ(n^2)算法。不难发现，此优化的难点是计算min{sum[i-M]..sum[i-1]}。在上面的链接中，我们成功的用Θ(nlgn)的算法解决了这个问题。但如果数据范围进一步扩大，运用st表解决就力不从心了。所以我们需要一种更高效的方法，即可以在Θ(n)的摊还时间内解决问题的单调队列。
单调队列（Monotone queue）是一种特殊的优先队列，提供了两个操作：插入，查询最小值（最大值）。它的特殊之处在于它插入的不是值，而是一个指针（key）（wiki原文：imposes the restriction that a key (item) may only be inserted if its priority is greater than that of the last key extracted from the queue）。所谓单调，指当一组数据的指针1..n（优先级为A1..An）插入单调队列Q时，队列中的指针是单调递增的，队列中指针的优先级也是单调的。因为这里要维护优先级的最小值，那么队列是单调减的，也说队列是单调减的。

查询最小值

由于优先级是单调减的，所以最小值一定是队尾元素。直接取队尾即可。

插入操作

当一个数据指针i（优先级为Ai）插入单调队列Q时，方法如下：

1. 如果队列已空或队头的优先级比Ai大，删除队头元素。
2. 否则将i插入队头

比如说，一个优先队列已经有优先级分别为 {5,3,-2} 的三个元素，插入一个新元素，优先级为2，操作如下：

1. 因为2 < 5，删除队头，{3,-2}
2. 因为2 < 3，删除队头，{-2}
3. 因为2 > -2，插入队头，{2，-2}

证明性质可以得到维护

证明指针的单调减 ：由于插入指针i一定比已经在队列中所有元素大，所以指针是单调减的。
证明优先级的单调减：由于每次将优先级比Ai大的删除，只要原队列优先级是单调的，新队列一定是单调的。用循环不变式易证正确性。
为什么删除队头：直观的，指针比i小（靠左）而优先级比Ai大的数据没有希望成为任何一个需要的子序列中的最小值。这一点是我们使用优先队列的根本原因。

维护区间大小

当一串数据A1..Ak插入时，得到的最小值是A1..Ak的最小值。反观dp方程：

f(i) = sum[i]-min{sum[k]|i-M≤k≤i} 

在这里，A = sum。对于f(i)，我们需要的其实是Ai-M .. Ai的最小值，而不是所有已插入数据的最小值（A1..Ai-1）。所以必须维护区间大小，使队列中的元素严格处于Ai-M..Ai-1这一区间，或者说删去哪些A中过于靠前而违反题目条件的值。由于队列中指针是单调的，也就是靠左的指针大于靠右的，或者说在优先队列中靠左的值，在A中一定靠后；优先队列中靠右的值，在A中一定靠前。我们想要删除过于靠前的，只需要在优先队列中从右一直删除，直到最右边（队尾）的值符合条件。具体地：当队头指针p满足i-m≤p时。
形象地说，就是忍痛割爱删去哪些较好但是不符合题目限制的数据。

解决问题

这里用std::list表示队列，直接按照上面的方法查询最小值，然后根据方程，f(k) = s[i] - s[queue.back()]。直接给出代码：

#include <iostream>
#include <list>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, m;
long long s[300005];
// 前缀和

list<int> queue;
// 链表做单调队列

int main() {
    cin >> n >> m;
    s[0] = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> s[i];
        s[i] += s[i-1];
    }
    long long maxx = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        while (!queue.empty() and s[queue.front()] > s[i])
            queue.pop_front();
        // 保持单调性
        queue.push_front(i);
        // 插入当前数据
        while (!queue.empty() and i-m > queue.back())
            queue.pop_back();
        // 维护区间大小，使i-m >= queue.back()
        if (i > 1)
            maxx = max(maxx, s[i] - s[queue.back()]);
        else
            maxx = max(maxx, s[i]);
        // 更新最值
    }
    cout << maxx << endl;
    return 0;
}

分析时间复杂度

运用聚合分析，由于一个元素最多进队一次，出队一次，while循环总共最多运行Θ(2n)=Θ(n)次，所以算法的摊还效率是Θ(n)。通过单调队列，实现了在线性复杂度内解决形如：

f[x] = max or min{g(k) | b[x] <= k < x} + w[x]
其中b[x]随x单调不降，即b[1]<=b[2]<=b[3]<=...<=b[n]
g[k]表示一个和k或f[k]有关的函数，w[x]表示一个和x有关的函数

的动态规划问题。

参考资料：百度百科，wiki
感谢这两位优美的一问一答：
http://zhidao.baidu.com/link?url=uQuBcPkzFeA_xoxxzKwNCXbdlmihh4ema-RUQwlcdhZ7oDzR9awb2Ec4tjudlYzyyOOpYlaQTGYntLVDDwe5-q