第五章-大数定律&中心极限定理

大数定律: 大量的重复试验平均结果的稳定性

• 切比雪夫不等式:
  • 定理:假设x随机变量,EX和DX都存在, 任取ξ >0, 则P(|X-Ex|≥ξ) ≤ DX/ξ²  
    • DX越小, 波动越小, 落在外面的概率越小
    • DX越大, 波动越大, 落在外面的概率越大
    • ξ越大, 落在外面的概率越小
    • ξ越小, 落在外面的概率越大
• 切比雪夫大数定律:
  • 收敛: an→a, 任意ξ>0, n>N时, |an-a|<Σ
  • 依概率收敛: Xn→a, 存在一个ξ<0, 任意N>0, 时P{|Xn-a|<ξ} = lim_n→∞P{|Xn-a|<ξ}=1
• 伯努利大数定律:
  • 重复n次试验, 事件A发生了Mn次. 概率未P. Mn/n是频率. lim_n→∞P{|Mn/n-P|<ξ}=1(lim_n→∞P{|Mn/n-P|≥ξ}=0)
• 定理3:切比雪夫大数定律
  
  • x1,...xn时不行哎你给惯的额随机变量, EXi和DXi都存在, 方差有界, DX≤M,任意ξ>0, lim_n→∞P{|1/nΣ_i=1ⁿXi - 1/nΣ_i=1ⁿEXi|<ξ} =1
• 推论: X1,...Xn独立同分布, EXi=μ, DXi=σ², 方差无要求, lim_n→∞P{|1/nΣ_i=1ⁿXi-μ|<ξ} = 1  (平均数→期望)

中心极限定理:

• 现象由大量相互独立的因素影响
• 大量独立同分布的变量之和的极限分布时正太分布
• 定理: X1,...Xn...是独立同分布(不管什么分布), EXi=μ, DXi = σ2, 0<σ²<+∞
  • lim_n→∞P[(Σ_i=1ⁿXi - nμ)/(n^½σ)≤x] = Φ₀(x),   
    • Y = Σ_i=1ⁿXi,  EY = EΣ_i=1ⁿXi = nμ,  DY = D(Σ_i=1ⁿXi) = Σ_i=1ⁿDXi = nσ² 

定理: Yn时参数未p的二项式分布, n,p服从二项式分布

• lim_n→∞^P[(Yn-np)/(np(1-p)^½)≤x] = Φ₀(x)