第五章-矩阵的特征值和特征向量

特征值,特征向量: A是n阶方阵, 对于数λ, 若存在非零列向量α,使得Aα=λα, 此时λ就是特征值, α对应于λ的特征向量

• λEα - Aα = 0, (λE-A)α=0, 所以(λE-A)x=0  的非零解↔|λE-A|=0
  
  • λE-A: 叫做特征矩阵
  • |λE-A|: 叫做特征多项式
  • |λE-A|: 叫做特征方程
  • λ: 叫做特征值, 特征根
• λ是A的特征值, α是λ对应对的特征向量, cα也是λ的特征向量(c≠0)
• 解带λ的行列式:
  • 完全展开|X|得方程组,(不推荐)
  • 把某行尽可能化为零, 按行展开
  • 提公因子(含λ)
  • 相反数, 相同数, 行和列相同

特征值, 特征向量的基本性质:

• A和A^T有相同的特征值(注:特征向量不一定相同)
• n个特征值λ1, λ2...λn, 
  • ∑λ_i=Σa_ii(i=1,...n)(特征值的和=矩阵对角线元素的和)
  • λ1·λ2·...λn = |A|(所有特征值相乘=行列式的值)
  • A可逆的充要条件是A≠0
• 互不相同的特征值λ1,λ2,...λm对应的特征向量α1,α2,...αn线性无关
• Kλ是KA的特征值, 
• λ^k是A^k的特征值
• 1/λ|A|是A*的特征值

相似矩阵:, A,B是两个同阶方阵, 存在n阶可逆矩阵P, 使得P^-1AP=B, 那么我们就说方阵A,B相似. A~B

• 反身性: A~A, E^-1AE=B 
• 对称性: A~B→B~A
• 传递性: A~B, B~C→A~C, P^-1AP=B, Q^-1BQ=C, 所以Q^-1P^-1APQ=C  (PQ)^-1A(PQ)=C
  
• A~B, A,B具有相同的特征值, 矩阵A,B的行列式|A|=|B|, 矩阵的迹tr(A)=tr(B)(迹是指祝对角线元素相加)
  • |λE-A|=|λE-B|, 因为:P^-1AP=B,所以|λE-P^-1AP|=|λP^-1EP-P^-1AP|=|P^-1||λE-A||P| = |λE-A|
• 如果A~B, A可逆↔B可逆, A^-1~B^-1
• 如果A~B, 则A^m~B^m
• 两个矩阵相似:
  • tr(A)=tr(B)
  • |A|=|B|
  • 均可逆或者不可逆
  • A^-1~B^-1
  • A^m~B^m
  • 特征值相同
  • r(A)=r(B)
• 定理: A相似余对角形↔A有n个线性无关的特征向量
• 推论: A有n个异互的特征根, A~对角形
• 定理: A~对角形↔对于r_i重根, 基础解系有r_i个解

实对称矩阵的对角化

• 含有n个线性无关向量的矩阵对角化
• 内积:2个向量(同型)的对应元素乘积的和(本质实一个数)
  • 本身性, (α·α)=α₁²+α₂²+α₃²≥0   (α·α)=0↔α=0
  • 对称性, (α·β)=(β·α)
  • 齐次性, (kα·β)=k(α·β), (α·kβ)=k(α·β), (kα·kβ)=k²(α·β), (α+β, γ)=(α,γ)+(β,γ), (k₁α₁+k₂α₂, m₁β₁+m₂β₂)=k₁m₁(α₁,α₂)+k₁m₂(α₁,β₂)+k₂m₁(α₂,β₁)+k₂m₂(α₂,β₂)
  • (α·β)=α^T·β=α·β^T 

向量的长度(范数, 模)

• 向量自身内积开平方: ||α||=(α·α)^1/2  推广: (α·α)=||α||²   当α=(-1, -1, 5), ||α||=[(-1)²+(-1)²+5²]^1/2  点到原点的距离,  特别的: ||α||=1, 单位向量, eg:α=(1,0,0),  单位化(标准化)
• 性质1: ||α||≥0, ||α||=0↔α=0
• 性质2(齐次性): ||kα||=|k|||α||
• 性质3: |(α,β)|≤||α||·||β||
• 性质4(三角不等式):||α+β||≤||α||+||β||
• 性质5(正交,垂直):(α,β)=0   α垂直β   (0,α)=0
• 性质6(正交向量组): α1, ...αs, 两两正交(不包含零向量)
• 定理: α1,...αs正交向量组, α1,...αs线性无关

施密特正交化

• 给一组线性无关的向量组α1,...αs, 求与之等价的正交β1,...βs
  • β1=α1
  • β2=α2-[(α2,β1)/(β1,β1)]β1
  • β3=α3-[(α3,β1)/(β2,β1)]β1-[(α3,β2)/(β2,β2)]β2
  • β4=α4-[(α4,β1)/(β1,β1)]β1-[(α4,β2)/(β2,β2)]β2-[(α4,β3)/(β3,β3)]β3

正交矩阵:

• 定义: 如果矩阵A是以个n阶方阵, 则AA^T=E, 就说明A为正交矩阵
• 性质1: 如果矩阵A实正交矩阵, 则|A|=1 or -1 ,, 证明: A^TA=E, |A^TA|=1, |A^T||A|, |A|²=1
• 性质2:矩阵A为正交矩阵, A^-1=A^T, 且A^-1和A^T均正交
• 性质3:如果A,B实正交矩阵, 那么A·B也是正交矩阵(AB)^TAB=B^TA^TAB=B^TB=E
• 性质4: A正交矩阵, α,β列, (Aα, Aβ)=(α,β)
• 定理: 如果A是正交矩阵↔矩阵A的列(行)向量是标准正交向量组

实对称矩阵的对角化

• 定理: 是对称矩阵A的不同特征值的特征向量正交
• 正交相似: A,B同阶,存在正交矩阵P,使得P^-1AP=B, 那么A,B叫做正交相似