第五章-多元函数

1,圆柱体的体积

• V = πr²h, {(r,h) | r>0, h>0}
• 三角形面积的海伦公式(p = (a+b+c)/2)    ===> s = [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2

定义1: 设非空点集 D€Rn, 映射f:D→R称为定义在D上的n元函数, 记作

• u= f(x₁+ x₂+ ,...,+x_n) 或f(P), P € D, 点集D称为函数的定义域

二元函数的连续性

• 定义3: 设二元函数f(x,y)在点P0(x0, y0)的某邻域内有定义, 如果lim_x->x0y->y0f(x,y) = f(x₀, y₀), 则称二元函数z = f(x,y)在点P₀连续, 如果函数在D上各点处都连续, 则称此函数在D上连续
• 闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
  • 定理: 若f(P)在有界闭域D上连续, 则:
    • EK > 0,使|f(p)| ≤ K, P€D    (有界性定理)
    • f(P)在D上可取得最大值M以及最小值m;    (最值定理)

一,偏导数定义及其计算法

• 定义1: 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内极限lim_Δx→0 f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀, y₀)/Δx存在, 则称此极限围函数z = f(x,y)在点(x0, y0)对x的偏导数, 记作 ∂z/∂x| (x₀, y₀), ∂f/∂x| (x₀, y₀) , zx| (x₀, y₀), fx(x₀,y₀)
• 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数, 例如: 三元函数 u= f(x, y, z)在点(x,y,z)处对于x的偏导数定义为:
  • fx(x,y,z) = lim_Δx→0 f(x+Δx, y,z) - f(x,y,z)/Δx

二, 高阶偏导数

• 设 z = f(x,y)在域D内存在连续的偏导数, ∂z/∂x = f_x(x,y), ∂z/∂y = f_y(x,y)
• 若这两个偏导数仍存在偏导数, 则称它们是z = f(x,y)的二阶偏导数, 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
  • ∂/∂x(∂z/∂x) = ∂²z/∂x² = f_xx(x,y)
  • ∂/∂y(∂z/∂x) = ∂²z/∂x∂y = f_xy(x,y)
  • ∂/∂x(∂z/∂y) = ∂²z/∂y∂x = f_yx(x,y)
  • ∂/∂y(∂z/∂y) = ∂²z / ∂y² = fy_y(x,y)
• 定理: 若f_xy(xy)和f_yx(x,y)都在点(x₀, y₀)连续, 
  • f_xy(x₀,y₀) = f_yx(x₀,y₀)
• 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立, 例如, 对三元函数u = f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时, 有
  • f_xyz(x,y,z) = f_yzx(x,y,z) = f_zxy(x,y,z) = f_xzy(x,y,z) = f_yxz(x,y,z) = f_zyx(x,y,z)

三, 全微分的定义

•  定义: 如果函数z = f(x,y)在定义域D的内点(x,y)处全增量, Δz = f(x+Δx, y+Δy) - f(x,y)可表示成
  • Δz = AΔx + BΔy + ο(ρ)
• 由微分定义:
  • limΔ_{x→0 Δy→0}Δz = limρ→0[(AΔx+BΔy) + ο(ρ)] = 0, 得:
  • lim_{Δx→0 Δy→0}f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) 即:
  • 函数z = f(x,y)在点(x,y)可微==>函数在该点连续
  • 函数可微==>偏导数存在(偏导数不一定连续)
  • 定义1: (必要条件)若函数z = f(x,y)在点(x,y)可微, 则该函数在该点偏导数∂z/∂x, ∂z/∂y必存在, 且有
    
    • dz = ∂z/∂xΔx + ∂z/∂yΔy
  • 定理2(充分条件):若函数z = f(x,y)的偏导数∂z/∂x , ∂z/∂y在点(x,y)连续, 则函数在该点可微分

四,隐函数的求导

• 定理1: 设函数F(x,y)在点P(x₀,y₀)的某一领域内满足
  • 具有连续的偏导数
  • F(x₀, y₀)=0
  • Fy(x₀, y₀)≠0
  • 则方程F(x,y)=0在点x0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y=f(x), 满足条件y₀ = f(x₀),并有连续导数: dy/dx = -(F_x/F_y)
• 定理2: 若函数F(x,y,z)满足:
  • 在点P(x₀,y₀,z₀)的某邻域内具有连续偏导数
  • F(x₀,y₀,z₀) = 0
  • Fz(x₀,y₀,z₀)≠0
  • 则方程F(x,y,z)=0在点(x₀,y₀)某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数z = f(x,y), 满足z₀ = f(x₀,y₀),并有连续偏导数:   ∂z/∂X = -(F_x/F_z),   ∂_z/∂_y=-(F_y/F_z)

五,多元函数的微积分

• 定义: 若函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有f(x,y)≤f(x0,y0) (f(x,y)≥f(x0,y0)), 则称函数在该点取得极大值(极小值), 极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点
• 定理1(必要条件):函数z = f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数, 且在该点取得极值, 则有: f'_x(x₀,y₀) = 0, f'_y(x₀,y₀)=0
• 定理2(充分条件):若函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0,
  • 令 A = f_xx(x₀,y₀), B = f_xy(x₀,y₀), c = f_yy(x₀,y₀),则:
    • 当AC - B² > 0时, 具有极值
      • A<0时取极大值
      • A>0时取极小值
    • 当AC-B² < 0时, 没有极值
    • 当AC-B² = 0时, 不能确定, 需另行讨论

六,利用直角坐标计算二重积分

• 若积分区域为(X-型)
  • D = {(x,y)|a≤x≤b, y₁(x)≤y≤y₂(x)}
  • 则∫∫_Df(x,y)dσ=∫_a^bdx∫_y1(x)^y₂(x)f(x,y)dy
  • 先积x, 后积y
  • 总结: 沿着Y轴的正向穿透, 先交为下限, 后交为上限
• 若积分区域为(Y-型)
  • D = {(x,y) | c≤y≤f, x1(y)≤x2(y)}
  • 则∫∫_Df(x,y)dσ = ∫_c^ddy∫_x1(y)^x₂(y)f(x,y)dx
  • 先积y, 后积x
  • 总结: 沿着X轴正向穿透, 先交为下限, 后交为上限
• 计算二重积分的口诀:
  • 先画积分域, 域内画条线, 先交为下限, 后交为上限, 若是不易积, 换序是关键, 两方同出现, 极坐标简便

七.利用极坐标计算二重积分

• 在极坐标系下, 用同心圆r=常数及射线θ=常数, 分划区域微D, Δσ_k (k=1,2,...n)
• 若积分区域为
  • D = {(r,θ) | α≤θ≤β, φ₁(θ)≤r≤φ₂(θ)}
  • 则∫∫f(x,y)dσ = ∫∫_Df(rcosθ, rsinθ)rdrdθ = ∫_α^βdθ∫_φ1(θ)^φ₂(θ)f(rcosθ, rsinθ)rdr
• 从极点出发, 以射线穿透这个区域
• 一般换元公式
  • 在变换
    • x = x(u,v)
    • y = y(u,v)下
    • (x,y)€D↔(u,v)€D', 且J = ∂(x,y)/∂(u,v)≠0
  • 则∫∫_Df(x,y)dσ = ∫∫_Df[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv

公式

• 对于矩形区域来说
  • ∫∫_Df(x)g(y)dσ = ∫_a^bdx∫_c^dg(y)dy = ∫_a^bf(x)dx∫_c^dg(y)dy = k∫_a^bf(x)dx= ∫_a^bf(x)dx∫_c^dg(y)dy
• 当被积函数为1的时候, 函数的二重积分=积分区域的面积