九度OJ 1451 不容易系列之一 -- 动态规划

题目地址：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1451

题目描述：

大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！
做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。

不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！

现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

输入：

输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1<n<=20），n表示8006的网友的人数。

输出：

对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

样例输入：

2
3

样例输出：

1
2

递推数列法

显然D₁=0，D₂=1。当n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑第n位的情况。

• 当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为D_n-2。
• 当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为D_n-1。

所以当n排在第k位时共有D_n-2+D_n-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2)

#include <stdio.h>
 
int main(void){
    int n, i;
    long long friends[21];
 
    friends[1] = 0;
    friends[2] = 1;
    for (i=3; i<=20; ++i)
        friends[i] = friends[i-1]  * (i - 1) + friends[i-2] * (i - 1);
    while (scanf ("%d", &n) != EOF)
        printf ("%lld
", friends[n]);
 
    return 0;
}

参考资料：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98