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本文内容
- 概述
- 简单移动平均
- 加权移动平均
- 指数移动平均
- 指数平滑异同移动平均
- 动向指数
- 示例——移动平均在股票分析
- 参考资料
最近大 BOSS“迷上”了一个网络游戏（什么游戏就不多说啦～），让我写个程序帮他算一下（现在他让另一个同事写了，我要改 bug 没时间，所以，我主要是没事时“凑热闹”提点想法）。期间，发现这个游戏一定是基于某个数学模型，试了很多方法，比如，文本相似度，曲线相似度等等，都不能很好的预测，最后，采用移动平均以及变体，就靠谱多了～本文主要回忆一下移动平均相关的问题。
图 1 本文演示
概述
移动平均（Moving Average，MA），是技术分析中一种分析时间序列数据，最简单、最常用的分析工具之一，如股价（如开盘价、收盘价、最高价、最低价）、回报或交易量等，抚平短期波动，反映长期趋势或周期，在变化无常的市场中能发挥特别的作用。移动平均线也是其它许多技术指标的基石。
- 若以时间长短，MA 可分为短期、中期、长期。 一般来说，短期平均线指周期在 10 日以下（包括十日）；中期指 2 周以上至几个月之间；长期是指几个月至一年。
- 若以计算资料，MA 可分为开盘价移动平均线、收盘价移动平均线、最高价移动平均线和最低价移动平均线。
- 若以计算方式，MA 分为简单移动平均线、线性加权移动平均线和指数加权移动平均线。
简单移动平均
简单移动平均线（Simple Moving Average，SMA），是某变量之前 n 个数值的未作加权的算术平均。
若计算收盘价的10日 SMA ，是指“之前10日”收市价的平均值。假设，收市价为 p=(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10)，则 SMA 为：
当为连续数值时，加入一个新值，同时剔除一个旧值：
推广到一般情况为：
加权移动平均
加权移动平均（Weighted Moving Average，WMA），是指计算平均值时将个别数据乘以不同数值（权重）。WMA 是线性的。
若计算 n 日 WMA，假设，收市价为 p= (p1, p2, … , pn, pn+1, … , pm, …)，则为若干天的收市价及依倒数顺序递减一的不同比例，来加权计算的移动平均线，即：
指数移动平均
指数移动平均（Exponential Moving Average，EMA)，是指以指数递减加权的移动平均。各数值的加权影响随时间而以指数递减，越近的数据加权影响力越重，但较旧的数据也给予一定的加权值。EMA 是非线性的。
首先，加权。加权的程度取决于常数 α，α 可用天数 N 来表示：
若 N 为 19 天，则 α=0.1。
然后，假设，今日 t1 收盘价为 p，则今日 t1 的 EMA 为：
即用“前一个 EMA 值”跟 α 和当前收盘价，来计算“下一个 EMA 值”。其中，可以将简单移动平均（SMA）作为初始值 EMAt0。
另外，若将上式反复迭代拆开后，EMA 为：
这是一个无穷级数。当有足够多的项，分母的值趋于 1/α，上式可以变成为，
由于 1-α<1，分子的各项数值会越来越小，可以忽略。若忽略 k 项及之后的项，则，
所以，若要包含 99.9% 的加权，
当 N 不断增加时，
解得 K 为
技术分析中，较为普遍的 10 日、40 日、200 日 的 MA，视分析时期长短而定。投资者从 MA 图表中分辨出支持位或阻力位。
指数平滑异同移动平均
指数平滑异同移动平均（MACD），是一个利用短期（快速）移动平均线与长期（慢速）移动平均线之间的聚合跟分离情况，对买进、卖出时机做出研判的技术指标，是一个中长期的投资技术工具。MACD 是从“双移动平均线”发展而来，它们的意义基本相同，但 MACD 阅读起来更方便。
MACD 构造原理是基于均线，对收盘价进行平滑处理后的一种趋向类指标。它由两部分组成，正负差（DIF）和异同平均数（DEA）。正负差是核心，DEA 是辅助。DIF 是快速 EMA 和慢速EMA 的差。
计算方法
其中，EMA(SHORT) 与 EMA(LONG) 分别是收盘价 SHORT 日指数移动平均线与 LONG 日指数移动平均线。
-
DEA
- MACD
其中，MACD 通常绘制成围绕零轴线波动的柱形图。
在现有的技术分析软件中，通常采用 SHORT=12，LONG=26，MID=9 时的 DIF 线、DEA 线、MACD 柱状线。柱状线一般有颜色，低于 0是绿色，高于 0 是红色，前者表示趋势向下，后者表示趋势向上，柱状线越长，趋势越强。当 MACD 从负数转向正数，是买入信号；否则是卖出信号。当 MACD 以大角度变化时，快 EMA 和慢 EMA 的差距迅速的拉开，表示一个市场大趋势的转变。
缺点
- 由于MACD是一项中、长线指标，买进点、卖出点和最低价、最高价之间的价差较大。当行情忽上忽下幅度太小或盘整时，按照信号进场后随即又要出场，买卖之间可能没有利润，也许还要赔点价差或手续费。
- 一两天内涨跌幅度特别大时，MACD来不及反应，因为 MACD 移动相当平缓，比较行情的移动有一定的时间差，所以一旦行情迅速大幅涨跌，MACD 不会立即产生信号，此时，MACD 无法发生作用。
动向指数
动向指数（Directional Movement Index，DMI），由美国威尔德（Welles Wilder JR.）提出的技术分析方法，“基本原理，是股价在上涨及下跌过程中，藉创新高价或新低价的动能，研判多空买卖力道，藉以寻求多空双方力道的均衡点，以及股价在多空双方互动下，波动的趋劫循环过程。”是用以研判市场多空趋势的指标，能预告“头部确认”、“底部完成”的讯号，是为判断波段走势相当实用的技术分析方法。
相较 MACD 为中期技术指标，DMI 可视为中长期技术指标。
前置作业
- 先决定股价趋势（Directional Movement，DM）是上涨或下跌
“所谓 DM 值，今日股价波动幅度大于昨日股价波动幅部分的最大值，可能是创高价的部分或创低价的部份；如果今日股价波动幅度较前一日小，则 DM = 0。”
若股价高点持续走高，为上涨趋势，记作 +DM；若为下跌趋势，记作 -DM。-DM 的负号（–）是表示反向趋势（下跌），并非数值为负数；其他状况：DM = 0。
- 寻找股价的真实波幅（True Range，TR）：
所谓真实波幅（TR）是以最高价，最低价，及前一日收盘价三个价格做比较，求出当日股价波动的最大幅度。
- 趋势方向需经由一段时间来观察，研判上才有意义。一般以 14 天为指标的观察周期：
先计算出 +DM、-DM 及 TR 的14日 SMA（简单算术平均数），得到 +DM14、–DM14 及 TR14 三组数据作为起始值，再计算各自的 EMA（指数移动平均）。
计算指标
利用上述结果计算 DMI 指标。
- 计算“方向指标（Directional Indicator，DI）”
真实波幅（TR）为股价波动的最大波幅，趋向指标（DM）不出其外，因此方向指标（DI）的值将介于 0~100 之间。例如，+DI14=45，–DI14=23，表示过去 14 日中向上的趋势占 45%，向下的趋势占 23%，其他的则没有方向性。
- 计算“趋向指数（Directional Movement Index，DX）”及“平均趋向指数（Average Directional Movement Index，ADX）”
- DX 运算结果取其绝对值，再将 DX 作 EMA，得到 ADX。
动向指数（DMI）适用在趋势明显的市场，而在没有明显趋势的市场，或是趋势周期取错时，则指标的讯号将不明确。DI 的波动性过高，容易出现无用的讯号，经常在讯号出现时，市场行情已走了一段，建议可以配合 KD、RSI 指标使用，以加强讯号的正确性。
示例——移动平均在股票分析
很多技术分析家认为，不能将以往若干天的收市价对后市的启示作用等量齐观，应该是越新的收市价对后市的启示作用越大，越旧的收市价对后市的启示作用越少。因此，在 SMA 基础上，发展出后 WMA 和 EMA 。这两种移动优于 SMA。SMA 不能迅速反映市场价格的急剧波动，信号较慢，但各种 MA 对大趋势提供的信息还是较为准确的。
下面利用柯达公司的收盘价（Eastman Kodak，EK）演示最常见的两种移动平均：简单移动平均线（SMA）和指数移动平均线（EMA）。
柯达公司收盘价的简单移动平均线（SMA）
例如，有如下表所示的柯达公式收盘价，计算 10 日 SMA。
表 1 柯达收盘价的“10 日 SMA”值
表 1 左边的数据跟后面计算 EMA 时的数据有一个不一致、错误的地方，将第 6 行“58.88”改成“59.88”，下面按一致的、正确的计算 SMA。
如下所示：
图 2 柯达收盘价的“10 日 SMA”线
图 2 柯达收盘价的 SMA，红色是实际值，蓝色是简单移动平均值。EK 收盘价的趋势是向下的，但依据过去10日建立的SMA，却始终高于当前收盘价。否则，若价格处于上涨趋势，则SMA基本会低于当前收盘价。由于简单移动平均值是滞后指标，因此它们属于趋势跟随指标。如果价格的趋势明显，移动平均线会发挥很好的作用。不过，当价格的趋势不明显时，移动平均线可能会给出误导的错误信号。
因此，SMA一个突出的事实，是所有的移动平均值都是滞后的，永远走在当前价格的后面。
柯达公司收盘价的指数移动平均线（EMA）
为了缩小 SMA 的滞后性，技术分析家于是采用 EMA 线。EMA 线是通过增大最近时间价格相对较远时间价格的权重，减缓 SMA 线的滞后性。对最近时间价格的加权值取决于移动平均值所采用的时间段。例如，10 日 EMA 将最近时间的加权值定为 18.18%，而 20 日 EMA 将加权值定为 9.52%。EMA 比 SMA 的计算要复杂。不过，只要明白 EMA 的计算是把最近时间的价格权重定得比较远时间价格的权重高就行。
EMA 有两种表达方式：基于百分比的和基于周期的。对于基于周期的 EMA，加权 α=2 / ( N + 1)，N 为周期内的时间数量（Time periods）。若计算 10 日 EMA，则 N=10；20 日，则 N=20。下面还是根据表 2，计算柯达公司收盘价的“10 日 EMA”。
表 2 柯达公司收盘价的“10 日 EMA”值
首先，10 日 EMA 的加权为：
再确定初始值 EMAt0，把“前 10 日的 SMA”作为 EMAt0（表 2 黄色背景显示的数字），这个 SMA 仅在第一次计算时使用，此后都使用前一个的 EMA 值：
从第 11 个时间开始，EMA12 为，
以此类推。
得到的各个 EMA 值的 EMA 线如下图所示：
图 3 柯达公司收盘价的“10 日 EMA”线
注意，理论上，数据库中的每个历史收市价都参与了所有 EMA 数值的计算。从计算公式，虽然随时间推移，较远时间收市价的影响力渐渐变小，但它永远都不会完全消失。事实也的确如此，虽然指数移动平均线都有确定的时间周期。历史价格对短周期的指数移动平均值的影响相对较长周期的指数移动平均线减少得快，但是，请记住，历史价格的影响力永远都不会完全消失。
简单移动平均线与指数移动平均线的比较
乍看上去，EMA 线和 SMA 线的区别似乎很小，但上面例子仅用了 10 个交易日的数据，尽管如此，区别还是显然的，EMA 线更贴近实际价格。一般来说，EMA 比 SMA 贴近实际价格的距离要近似 3/8。
表 3 柯达收盘价“10 日 SMA”和“10 日 EMA”差异
表 3 是同一时间的 SMA 和 EMA 相对于实际价格的差距。从第 10 – 20 天这 10 天内，有 9 天的 EMA 线比 SMA 线更贴近实际价格。SMA 线唯一一次比 EMA 线更贴近实际价格是第 18 天。
参考资料
在 .Net Famework 平台上，微软提供很多现成的财务和应用公式。