树的深度优先搜索（上）：如何才能高效率地查字典？
在平时的生活中,我们查字典都是从单词的最左边的字母开始，逐个去查找。比如查找“boy”这个单词，我们一般是这么查的。首先，在 a～z 这 26 个英文字母里找到单词的第一个字母 b，然后在 b 开头的单词里找到字母 o，最终在 bo 开头的单词里找到字母 y。
图论的一些基本概念
前缀树是一种有向树。那什么是有向树？顾名思义，有向树就是一种树，特殊的就是，它的边是有方向的。而树是没有简单回路的连通图。
如果一个图里所有的边都是有向边，那么这个图就是有向图。如果一个图里所有的边都是无向边，那么这个图就是无向图。既含有向边，又含无向边的图，称为混合图。
在有向图中，以结点 v 为出发点的边的数量，我们叫作 v 的出度。而以 v 为 终点的边之数量，称为 v 的入度。在上图中，结点 v2 的入度是 1，出度是 2。
结点和边的交替序列组成的就是通路。所以，通路上的任意两个结点其实就是互为连通的。如果一条通路的起始点 v_{1} 和终止点 v_{n} 相同，这种特殊的通路我们就叫作回路。从起始点到终止点所经过的边之数量，就是通路的长度。这里我画了一张图，这里面有 1 条通路和 1 条回路，第一条非回路通路的长度是 3，第二条回路的长度是 4。
树是一种特殊的图，它是没有简单回路的连通无向图。这里的简单回路，其实就是指，除了第一个结点和最后一个结点相同外，其余结点不重复出现的回路。
什么是有向树呢？顾名思义，有向树是一种特殊的树，其中的边都是有向的，而且它满足以下几个条件：
- 有且仅有一个结点的入度为 0，这个结点被称为根；
- 除根以外的所有结点，入度都为 1。从树根到任一结点有且仅有一条有向通路。
除了这些基本定义，有向树还有几个重要的概念，父结点、子结点、兄弟结点、先辈结点、后辈结点、叶子结点、结点的高度（或深度）、树的高度（或深度）。
前缀树的构建和查询
如何使用有向树来实现前缀树：构建前缀树和查询前缀树。
-
构建前缀树
-
查询前缀树
从前缀树的根开始，查找下一个结点，顺着这个通路走下去，一直走到到某个结点。如果这个结点及其前缀代表了一个存在的单词，而待查找的单词和这个结点及其前缀正好完全匹配，那就说明成功找到了一个单词。否则，就表示无法找到。
这里有几种特殊情况，需要注意。
- 如果还没到叶子结点的时候，待查的单词就结束了。这个时候要看最后匹配上的非叶子结点是否代表一个单词；如果不是，那说明被查单词并不在字典中。
- 如果搜索到前缀树的叶子结点，但是被查单词仍有未处理的字母。由于叶子结点没有子结点，这时候，被查单词不可能在字典中。
- 如果搜索到一半，还没到达叶子结点，被查单词也有尚未处理的字母，但是当前被处理的字母已经无法和结点上的字符匹配了。这时候，被查单词不可能在字典中。
构建的时候，我们需要根据当前的前缀进行查询，然后才能找到合适的位置插入新的结点。而且，这两者都存在一个不断重复迭代的查找过程，我们把这种方式称为深度优先搜索（Depth First Search）。
所谓树的深度优先搜索，其实就是从树中的某个结点出发，沿着和这个结点相连的边向前走，找到下一个结点，然后以这种方式不断地发现新的结点和边，一直搜索下去，直到访问了所有和出发点连通的点、或者满足某个条件后停止。
如果到了某个点，发现和这个点直接相连的所有点都已经被访问过，那么就回退到在这个点的父结点，继续查看是否有新的点可以访问；如果没有就继续回退，一直到出发点。由于单棵树中所有的结点都是连通的，所以通过深度优先的策略可以遍历树中所有的结点，因此也被称为深度优先遍历。
结点上的数字表示结点的 ID，而虚线表示遍历前进的方向，结点边上的数字表示该结点在深度优先搜索中被访问的顺序。在深度优先的策略下，我们从点 110 出发，然后发现和 110 相连的点 123，访问 123 后继续发现和 123 相连的点 162，再往后发现 162 没有出度，因此回退到 123，查看和 123 相连的另一个点 587，根据 587 的出度继续往前推进，如此类推。
总结
二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构，它可用于二叉查找树和二叉堆。二叉树甚至可以用于图示化我们之前聊过的二分迭代。
满二叉树是一棵高度为 n（高度从 1 开始计），且有 2^n-1 个结点的二叉树。在高度为 k(0<k≤n）的这一层上，结点的数量为 2^(k-1)。如果把树的根标为 0，每个结点的左子结点标为 0，每个结点的右子结点标为 1，那么把根到叶子结点的所有 0 或 1 连起来，就正好对应一个二进制数。
