点分治学习笔记

应用

点分治适合处理大规模的树上路径信息问题。

个人感觉和 (dsu on tree) 有点像

过程

因为是分治所以我们肯定要把一个大问题分解为更小的子问题

以洛谷上的P4178 Tree为例

首先我们选择一个点开始递归，求出其它的点到该点的距离，把得到的结果存在一个数组里

然后把该数组 (sort) 一下，利用双指针求出到该点的距离之和小于等于 (k) 的点对有多少个

然后把该点打个标记，再去找其它的点进行上述操作

找什么样的点对我们的复杂度是有很大影响的

经过证明，每次选择剩余子树的重心是最优的，复杂度为 (nlogn)

再加上排序的一个 (log) 复杂度为 (nlog^2n)

要注意的是这种方法需要容斥减去不合法的方案

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
int h[maxn],tot=1,n,k;
struct asd{
	int to,nxt,val;
}b[maxn];
void ad(rg int aa,rg int bb,rg int cc){
	b[tot].to=bb;
	b[tot].nxt=h[aa];
	b[tot].val=cc;
	h[aa]=tot++;
}
int siz[maxn],maxsiz[maxn],totsiz,rt,sta[maxn],tp,ans;
bool vis[maxn];
void getroot(rg int now,rg int lat){
	siz[now]=1;
	maxsiz[now]=0;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(vis[u] || u==lat) continue;
		getroot(u,now);
		siz[now]+=siz[u];
		maxsiz[now]=std::max(maxsiz[now],siz[u]);
	}
	maxsiz[now]=std::max(maxsiz[now],totsiz-siz[now]);
	if(maxsiz[rt]>maxsiz[now]) rt=now;
}
void dfs(rg int now,rg int lat,rg int w){
	sta[++tp]=w;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(u!=lat && !vis[u]) dfs(u,now,b[i].val+w);
	}
}
int js(rg int now,rg int w){
	tp=0;
	dfs(now,0,w);
	std::sort(sta+1,sta+tp+1);
	rg int nans=0;
	for(rg int i=1,j=tp;;i++){
		while(j && sta[i]+sta[j]>k) j--;
		if(i>j) break;
		nans+=j-i+1;
	}
	return nans;
}
void dfs2(rg int now){
	ans+=js(now,0);
	vis[now]=1;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(!vis[u]){
			ans-=js(u,b[i].val);
			rt=0;
			totsiz=siz[u];
			getroot(u,0);
			dfs2(rt);
		}
	}
}
int main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	n=read();
	rg int aa,bb,cc;
	for(rg int i=1;i<n;i++){
		aa=read(),bb=read(),cc=read();
		ad(aa,bb,cc);
		ad(bb,aa,cc);
	}
	k=read();
	maxsiz[0]=0x3f3f3f3f,rt=0,totsiz=n;
	getroot(1,0);
	dfs2(rt);
	printf("%d
",ans-n);
	return 0;
}

但是有些题是取最大值最小值的操作，我们就不能容斥解决，要稍微改变一下写法

比如 P4149 [IOI2011]Race

这样写要特判单独一条边的贡献

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
int h[maxn],tot=1,n,k;
struct asd{
	int to,nxt,val;
}b[maxn<<1];
void ad(rg int aa,rg int bb,rg int cc){
	b[tot].to=bb;
	b[tot].val=cc;
	b[tot].nxt=h[aa];
	h[aa]=tot++;
}
int maxsiz[maxn],siz[maxn],totsiz,rt;
bool vis[maxn];
void getroot(rg int now,rg int lat){
	siz[now]=1,maxsiz[now]=0;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(u==lat || vis[u]) continue;
		getroot(u,now);
		siz[now]+=siz[u];
		maxsiz[now]=std::max(maxsiz[now],siz[u]);
	}
	maxsiz[now]=std::max(maxsiz[now],totsiz-siz[now]);
	if(maxsiz[rt]>maxsiz[now]) rt=now;
}
int sta1[maxn],sta2[maxn],tp,ans=0x3f3f3f3f,mmin[maxn];
void dfs(rg int now,rg int lat,rg int w1,rg int w2){
	if(w1>k) return;
	sta1[++tp]=w1;
	sta2[tp]=w2;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(u!=lat && !vis[u]) dfs(u,now,w1+b[i].val,w2+1);
	}
}
void js(rg int now,rg int w){
	tp=0,mmin[0]=0;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(vis[u]) continue;
		rg int beg=tp+1;
		dfs(u,now,b[i].val,1);
		for(rg int j=beg;j<=tp;j++) ans=std::min(ans,mmin[k-sta1[j]]+sta2[j]);
		for(rg int j=beg;j<=tp;j++) mmin[sta1[j]]=std::min(mmin[sta1[j]],sta2[j]);
	}
	for(rg int i=1;i<=tp;i++) mmin[sta1[i]]=0x3f3f3f3f;
}
void dfs2(rg int now){
	vis[now]=1;
	js(now,0);
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int u=b[i].to;
		if(vis[u]) continue;
		rt=0,totsiz=siz[u];
		getroot(u,0);
		dfs2(rt);
	}
}
int main(){
	memset(mmin,0x3f,sizeof(mmin));
	memset(h,-1,sizeof(h));
	n=read(),k=read();
	rg int aa,bb,cc;
	for(rg int i=1;i<n;i++){
		aa=read(),bb=read(),cc=read();
		aa++,bb++;
		ad(aa,bb,cc);
		ad(bb,aa,cc);
		if(cc==k) ans=1;
	}
	totsiz=n,rt=0,maxsiz[0]=0x3f3f3f3f;
	getroot(1,0);
	dfs2(rt);
	if(ans==0x3f3f3f3f) ans=-1;
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

整体上点分治的思想还是比较简单的