概率与期望知识总结

概率与期望知识总结

一、概率

1、定义

概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性 ((likelihood))大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了(n)次试验与观察，其中(A)事件出现了(m)次，即其出现的频率为(m/n)。经过大量反复试验，常有(m/n)越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件(A)出现的概率，常用(P (A)) 表示。

2、条件概率

事件(B)在事件(A)发生的条件下发生的概率=事件(A)和事件(B)同时发生的概率除以事件(B)发生的概率

(P(A|B) = frac{P(A igcap B)}{P(B)})

3、全概率公式

如果事件(B1、B2、B3…Bn) 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且(P（Bi))大于(0)，则对任一事件(A)有

(P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn))

公式看上去复杂，但其实思路很简单。

例如，参加比赛，得一等奖、二等奖、三等奖和优胜奖的概率分别为(0.1、0.2、0.3)和(0.4)

这(4)种情况下，你会被妈妈表扬的概率分别为(1.0、0.8、0.5、0.1)

则你被妈妈表扬的总概率为(0.1 imes 1.0+0.2 imes 0.8+0.3 imes 0.5+0.4 imes 0.1=0.45)

使用全概率公式的关键是“划分样本空间”，只有把所有可能情况不重复、不遗漏地进行分类，并算出每个分类下事件发生的概率，才能得出该事件发生的总概率。

4、贝叶斯公式

由英国数学家贝叶斯 (( Thomas Bayes 1702-1761 )) 发展，用来描述两个条件概率之间的关系,比如 (P(A|B)) 和 (P(B|A))。

按照乘法法则，可以立刻导出：(P(A∩B) = P(A) imes P(B|A)=P(B) imes P(A|B))

如上公式也可变形为：(P(A|B)=P(B|A) imes P(A)/P(B))

将贝叶斯公式与全概率公式合在一起，还会得到下面的式子

二、期望

1、定义

在概率论和统计学中，数学期望((mean))（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

2、期望的线性性质

有限个随机变量之和的数学期望等于每个随机变量的数学期望之和

(E(aX+bY)=a imes E(X)+b imes E(Y))