洛谷 P4550 收集邮票

洛谷 P4550 收集邮票

题目链接：洛谷 P4550 收集邮票

算法标签: 动态规划（DP）、期望DP

题目

题目描述

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

一行,一个数字N
N<=10000

输出格式

要付出多少钱.
保留二位小数

输入输出样例

输入 #1

3

输出 #1

21.25

题解：

期望DP

按照题目的描述，我们可以设一个(f[])和一个(g[])

​ (f[i])表示买到第(i)张邮票还需要购买的期望次数

​ (g[i])表示买到第(i)张邮票还需要期望花费的钱数。

讲到这里大概就可以发现，这道题需要逆推。

对于一个(f[i])，我们也可以有以下的几种方案：

​ 会买到重复邮票的概率为(frac{i}{n})，所以这项贡献：(f[i] imes frac{i}{n})

​ 会买到不同邮票的概率为(frac{n - i}{n})，所以这项贡献：(f[i+1] imes frac{n-i}{n})

​ 买当前邮票，贡献为：(1)。

所以对于一个(f[i])，我们可以得出：(f[i]=f[i] imes frac{i}{n} + f[i+1] imes frac{n-i}{n}+1)。

化简得出：(f[i] = f[i + 1] + frac{n}{n-i} dots ①)

那么对于(g[i])，推导的方式大致与(f[i])类似：

(g[i] = (f[i]+g[i]+1) imes frac{i}{n}+(f[i+1]+g[i+1]+1) imesfrac{n-i}{n})

化简得出：(g[i]=frac{i}{n-i} imes f[i]+f[i+1]+g[i+1]+frac{n}{n-i} dots ②)

至此，两个必要的递推式都推导完毕，接下来就是注意好double的处理，输入和输出，计算等等即可。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n;

double f[N], g[N];

double _div(int a, int b)
{
	return a * 1.00 / b * 1.00;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	f[n] = g[n] = 0;
	for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
	{
		f[i] = f[i + 1] + _div(n, n - i);
		g[i] = _div(i, n - i) * f[i] + f[i + 1] + g[i + 1] + _div(n, n - i);
	}
	printf("%.2lf", g[0]);
}