AcWing 1298 曹冲养猪

中国剩余定理(CRT)

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问题背景

孙子定理是中国古代求解一次同余式方程组的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元\(5\)世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
  有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

用现代数学的语言来分析这个问题，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

\[\large \left\{\begin{matrix} x \equiv a_1 (mod \ m_1) \\ x \equiv a_2 (mod \ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_n (mod \ m_n) \end{matrix}\right. \]

• 在中国剩余定理（以下简称 \(CRT\) ) 中\(m_1,m_2,...,m_n\)为两两互质的整数
  
  
• 在扩展中国剩余定理（以下简称 \(EXCRT\)）中\(m_1,m_2,...,m_n\)并不满足互质条件，后者相对于前者更难解决。而两者都要运用一个算法来解决：扩展欧几里得算法。

下面的问题证明牵涉到一个 最基本数学定理 ，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

问题1：计算一个整数 \(x\) ，使得它满足除以\(3\)余\(2\)、除以\(5\)余\(3\)、除以\(7\)余\(2\)。

如果能够找到三个整数 \(x_1,x_2,x_3\) ，使得：

\(x_1\) 除以\(3\)余\(2\)、除以\(5\)余\(0\)、除以\(7\)余\(0\)；

\(x_2\) 除以\(3\)余\(0\)、除以\(5\)余\(3\)、除以\(7\)余\(0\)；

\(x_3\) 除以\(3\)余\(0\)、除以\(5\)余\(0\)、除以\(7\)余\(2\)；

那么令 \(x=x_1+x_2+x_3\)，利用上面的基本定理，我们知道这时的 \(x\) 就满足除以\(3\)余\(2\)、除以\(5\)余\(3\)、除以\(7\)余\(2\)。

分别称找到整数 \(x_1,x_2,x_3\) 的问题为问题1-1、问题1-2、问题1-3。可以看出这三个问题本质上是类似的。

下面对问题1-1继续分解，如果能够找到一个整数 \(y_1\) 满足 \(y_1\) 除以\(3\)余\(1\)、除以\(5\)余\(0\)、除以\(7\)余\(0\)，那么令 \(x_1=2\times y_1\) ，就很容易验证这时的 \(x_1\) 就满足除以\(3\)余\(2\)、除以\(5\)余\(0\)、除以\(7\)余\(0\)。

因此定义

问题1-1-1为：寻找整数 \(y_1\) 满足 \(y_1\) 除以\(3\)余\(1\)、除以\(5\)余\(0\)、除以\(7\)余\(0\)；

问题1-2-1为：寻找整数 \(y_2\) 满足 \(y_2\) 除以\(3\)余\(0\)、除以\(5\)余\(1\)、除以\(7\)余\(0\)；

问题1-3-1为：寻找整数 \(y_3\) 满足 \(y_3\) 除以\(3\)余\(0\)、除以\(5\)余\(0\)、除以\(7\)余\(1\)。

这三个问题本质上是相同的。

如果找到了 \(y_1,y_2,y_3\) ，那么就可以取 \(x=2\times y_1 + 3 \times y_2 + 2 \times y_3\)。

---

下面就以问题1-1-1为例：寻找整数 \(z\) 使得 \(z\) 除以\(3\)余\(1\)、除以\(5\)余\(0\)、除以\(7\)余\(0\)。

于是 \(z\) 一定 是\(5 \times 7=35\)的倍数，假设\(z=35k\)。

那么就有\(35k \equiv 1 (mod \ 3)\),而这时的 就是\(5 \times 7\)模\(3\)的逆元\(k\) 。这样，就转化为以前的知识，可以通过扩展欧几里得来求逆元，也就是求得了$k \Rightarrow z \Rightarrow y \Rightarrow x \Rightarrow $最终的解。

将这个\(k\)记作\([35^{-1}]_3\),那么\(z\)就等于\(5 \times 7 \times [(5\times 7)^{-1}]_3\),恰好就是 \(5 \times 7 \times 2=70\),对应“凡三三数之剩一，则置七十”一句及“三人同行七十稀”一句。

于是类推得到，
问题1-1-2的解答是 \(3\times 7 \times [(3 \times 7)^{-1}]_5\) ，恰好就是 \(3 \times 7 \times 1=21\) ，对应“五五数之剩一，则置二十一”一句及“五树梅花廿一枝”一句；

问题1-1-3的解答是 \(3 \times 5 \times [(3\times 5)^{-1}]_7\) ，恰好就是 \(3\times 5\times 1=15\) ，对应“七七数之剩一，则置十五”一句及“七子团圆月正半”一句。

所以将分解的问题复原，可得：

\[x=2\times (5 \times 7 \times [(5\times 7)^{-1}]_3)+3\times (3\times 7 \times [(3\times 7)^{-1}]_5)+2\times (3\times 5 \times [(3 \times 5)^{-1}]_7)$$。 。 最后 ，注意到，如果 $x$ 满足除以$3$余$2$、除以$5$余$3$、除以$7$余$2$，那么 $x+3\times 5 \times 7$ 也同样满足。 因此要计算满足要求的最小的非负整数，就只需要**计算总和除以$105$的余数**即可。——对应“除百零五便得知”一句。 --- 下面要讨论的是：如果有多个满足要求的整数，那么**它们之间有什么关系**呢？ 假设 $X,Y$ 都满足“除以$3$余$a$、除以$5$余$b$、除以$7$余$c$”。 观察 $X-Y$ 会发现， $X-Y$ 满足“除以$3$余$0$、除以$5$余$0$、除以$7$余$0$”。因此 $X-Y$一定是 $3\times 5 \times 7$ 的倍数。 这也就是说，在“模$105$同余”的意义下，之前通过分解问题、组合解答的方法所得到的 $x$ 恰恰就是唯一解。 --- 下面把这个问题一般化：假设整数$m_1,m_2,m_3,...,m_n$两两互素，则对于任意的整数 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ ，方程组 $\large \left\{\begin{matrix} x \equiv a_1 (mod \ m_1) \\ x \equiv a_2 (mod \ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_n (mod \ m_n) \\ \end{matrix}\right. $ 都存在整数解，且若$X,Y$都满足该方程组，则必有 $\large \displaystyle X \equiv Y \ (mod \ M)$ ，其中 $\large \displaystyle M=\prod _{i=1}^{n}m_i$。 具体而言， $$\large \displaystyle x \equiv \sum_{i=1}^{n}a_i \times \frac{M}{m_i} \times \begin{bmatrix} (\frac{M}{m_i})^{-1} \end{bmatrix} _{m_i} \ (mod \ M)$$ 。 ——这就是我非常看重和喜欢的中国剩余定理(Chinese remainder theorem, CRT)。 例题： [P3868 [TJOI2009] 猜数字](https://www.luogu.com.cn/problem/P3868) ```c++ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 20; int n; LL a[N], m[N]; LL M = 1, ans; LL x, y; //龟速乘 LL qmul(LL a, LL k, LL b) { LL res = 0; while (k) { if (k & 1) res = (res + a) % b; a = (a + a) % b; k >>= 1; } return res; } //扩展欧几里得 LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { if (!b) { x = 1, y = 0; return a; } LL d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &m[i]), M *= m[i]; // M是累乘积 // a[i]可能为负数，需要预处理 for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = (a[i] % m[i] + m[i]) % m[i]; //中国剩余定理 for (int i = 1; i <= n; i++) { exgcd(M / m[i], m[i], x, y); //求逆元x x = (x % m[i] + m[i]) % m[i]; //防负数 ans = (ans + qmul(a[i], M / m[i] * x, M)) % M; //调用龟速乘 } printf("%lld\n", ans); return 0; } ``` [P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪](https://www.luogu.com.cn/problem/P1495) ```c++ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 20; //曹冲养猪 洛谷 P1495 //曹冲养猪 AcWing 1298 int n; LL a[N], m[N]; LL M = 1, x, y, ans; //龟速乘 LL qmul(LL a, LL k, LL b) { LL res = 0; while (k) { if (k & 1) res = (res + a) % b; a = (a + a) % b; k >>= 1; } return res; } //扩展欧几里得 LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { if (!b) { x = 1, y = 0; return a; } LL d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } int main() { scanf("%d", &n); //建立猪圈的次数 // m[1]=3 第1次建立3个猪圈 // a[1]=1 第1次有1只猪无家可归,也就是余数 // 也就是 x % 3 = 1 for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]), M *= m[i]; // a[i]可能为负数，需要预处理 // for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = (a[i] % m[i] + m[i]) % m[i]; for (int i = 1; i <= n; i++) { exgcd(M / m[i], m[i], x, y); //求逆元x x = (x % m[i] + m[i]) % m[i]; //防负数 ans = (ans + qmul(a[i], M / m[i] * x, M)) % M; //调用龟速乘 } printf("%lld\n", ans); return 0; } ``` 参考题解：https://www.acwing.com/solution/content/74377/\]