一、总结
用到了 \(6\)个知识点：
1. 由 \(x\) 个 \(y\) 组成的数的公式是\(\large \displaystyle y*\frac{10^x-1}{9}\)。比如 \(88888888\)这种数。
证明：
\(\large \displaystyle \underbrace{8...8}_{x}=8 \times \underbrace{1...1}_{x}=8 \times \frac{9...9}{9}=8 \times \frac{10^x-1}{9}\)
2. 欧拉定理
若 \(a, n\)为正整数，且\(a,n\)互质 ，则 $$\large a^{φ(n)}≡1(mod \ n)$$
其中\(\phi(n)\)指欧拉函数值。如果\(a,n\)不互质，则方程无解。
3. 欧拉定理推论
若正整数\(a,n\)互质，则满足\(a^x \equiv 1 \ (mod \ n)\)的最小正整数 \(x_0\)是\(\phi(n)\)的约数。
4. 快速幂
// 原生快速幂 (a^k)%p
LL qmi(LL a, LL k, LL p) {
LL res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = res * a % p;
k >>= 1;
a = a * a % p;
}
return res;
}
5. 快速幂+龟速乘
当模数\(>1e9\)的时候，在相乘的时候爆\(long\) \(long\)了。
参考网址：https://blog.csdn.net/cyan_rose/article/details/83065026
//龟速乘
//时间复杂度：logn,乘法本来是O(1),这么干成了O(logN)了。
//优点：可以防止在LL*LL % MOD 过程中爆掉LL，可以将乘法分解成多步加法，在加的过程中不断取模。
LL qmul(LL a, LL k, LL b) {
LL res = 0;
while (k) {
if (k & 1) res = (res + a) % b;
a = (a + a) % b;
k >>= 1;
}
return res;
}
//快速幂+龟速乘
LL qmi(LL a, LL k, LL b) {
LL res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = qmul(res, a, b); //调用龟速乘,原因是本题的数据范围是2*1e9,直接乘会爆掉LL，需要一路乘来一路取模
a = qmul(a, a, b);
k >>= 1;
}
return res;
}
6. INT128配合快速幂
//下面的办法可以用来测试编译器是不是支持 LLL
typedef __int128 LLL;
//快速幂+ LLL
LL qmi(LL a, LL k, LL b) {
LL res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = (LLL)res * a % b;
a = (LLL)a * a % b;
k >>= 1;
}
return res;
}
二、推导过程
题目实际上要我们求一个最小的正整数 \(x\)，满足 \(\large \displaystyle L|8*\frac{10^x-1}{9}\)
我们来转化一下这个限制条件：
令\(\large \displaystyle d=gcd(L,8)\),那么约分:
设\(\large \displaystyle p=\frac{9*L}{d}\)
即:
最终变成求解满足 \(\large \displaystyle 10^x≡1(mod \ p)\) 的最小正整数 \(x\)
注释 ① :(一开始我看不懂这一步，解释一下\(qwq\))
- $\large \displaystyle gcd(8,9)=1 \Rightarrow d=gcd(9L,8)=gcd(8,L) $ (参考黄海整理的最大公约数性质\(4\))
- \(d\)既然是两个数的最大公约数，那么两个数都除以\(d\)后，得到的两个新数，必须互质 (这是最大公约数的定义)
即：\(\large \displaystyle \frac{9*L}{d}\)与\(\large \displaystyle \frac{8}{d}\)是互质的,而\(\large \displaystyle 10^x-1\)还想是\(\large \displaystyle \frac{9*L}{d}\)的整数倍
所以 \(\large \displaystyle \frac{9*L}{d}\)一定是\(\large \displaystyle 10^x-1\)的因数，所以\(\large \displaystyle \Leftrightarrow \frac{9*L}{d} | 10^x-1\)
三、欧拉定理
欧拉定理: \(\large \displaystyle a^{φ(n)}≡1(mod \ n)\)(其中\(\large \displaystyle gcd(a,n)=1\))
这里的形式有点像欧拉定理，\(\large a^{\phi(c)}\equiv 1 (mod \ p)\)但是欧拉定理只是说\(\large φ(n)\)是一个解，但不能保证 \(\large φ(n)\) 是满足等式的最小正整数!
由于我们学习过前导知识，知道如果想求最小正整数解\(\large x\)，其实需要满足\(\large x|\phi(c)\),我们只需要枚举每个\(\large \phi(c)\)的约数，找出满足条件的最小正整数\(\large x\)即可。
四、实现代码(快速幂+龟速乘)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
//最大公约数
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return b ? a : gcd(b, a % b);
}
//龟速乘
LL qmul(LL a, LL k, LL b) {
LL res = 0;
while (k) {
if (k & 1) res = (res + a) % b;
a = (a + a) % b;
k >>= 1;
}
return res;
}
//快速幂+龟速乘
LL qmi(LL a, LL k, LL b) {
LL res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = qmul(res, a, b);
a = qmul(a, a, b);
k >>= 1;
}
return res;
}
/**
* 功能：欧拉函数
* @param x
* @return
*/
LL get_euler(LL x) {
LL res = x;
for (int i = 2; i <= x / i; i++)
if (x % i == 0) {
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
int main() {
int T = 1; //准备输出Case i
LL L;
while (cin >> L, L) {
int d = gcd(L, 8); // L和8的最大公约数 gcd(8,L)
LL p = 9 * L / d; // 公式推导得到的p
LL phi = get_euler(p); // 单个数字p的欧拉函数值φ(p)
LL res = LONG_LONG_MAX; //预求最小先设最大
if (gcd(p, 10) > 1) //判断p和10是否互质,不互质:方程无解，输出0
res = 0;
else {
for (LL d = 1; d * d <= phi; d++) //枚举φ(p)的每个小约数,到sqrt(φ(p))
if (phi % d == 0) { //如果d是约数,那么其实我们一次发现了两个约数： d 和 phi/d
//这里与原来的质因子分解有一点点不同，因为那个只要枚举小于sqrt(n)的，并且 n %d==0,
//就一定是它的小质数因子，本题不是这个意思。
//本题的目标是找出所有因子，注意，不是小因子。
//因为，小因子不见得能是方程的解，大因子不见得不是方程的解！！
//对于它们，都有机会成为答案，需要全部讨论到！然后PK最小值即可！
//如果这个约数d，满足 10 ^ d ≡ 1 (mod p) ，那么它有机会成为答案
if (qmi(10, d, p) == 1) res = min(res, d); //小约数
//如果这个约数phi/d，满足 10 ^ (phi/d) ≡ 1 (mod p) ，那么它有机会成为答案
if (qmi(10, phi / d, p) == 1) res = min(res, phi / d); //大约数
}
}
//输出
printf("Case %d: %lld\n", T++, res);
}
return 0;
}
五、快速幂+__int128
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
//下面的办法可以用来测试编译器是不是支持 LLL
typedef unsigned __int128 LLL;
//最大公约数
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return b ? a : gcd(b, a % b);
}
//快速幂+ LLL
LL qmi(LL a, LL k, LL b) {
LL res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = (LLL)res * a % b;
a = (LLL)a * a % b;
k >>= 1;
}
return res;
}
/**
* 功能：欧拉函数
* @param x
* @return
*/
LL get_euler(LL x) {
LL res = x;
for (int i = 2; i <= x / i; i++)
if (x % i == 0) {
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
int main() {
int T = 1; //准备输出Case i
LL L;
while (cin >> L, L) {
int d = gcd(L, 8); // L和8的最大公约数 gcd(8,L)
LL p = 9 * L / d; // 公式推导得到的p
LL phi = get_euler(p); // 单个数字p的欧拉函数值φ(p)
LL res = LONG_LONG_MAX; //预求最小先设最大
if (gcd(p, 10) > 1) //判断p和10是否互质,不互质:方程无解，输出0
res = 0;
else {
for (LL d = 1; d * d <= phi; d++) //枚举φ(p)的每个小约数,到sqrt(φ(p))
if (phi % d == 0) { //如果d是约数,那么其实我们一次发现了两个约数： d 和 phi/d
//这里与原来的质因子分解有一点点不同，因为那个只要枚举小于sqrt(n)的，并且 n %d==0,
//就一定是它的小质数因子，本题不是这个意思。
//本题的目标是找出所有因子，注意，不是小因子。
//因为，小因子不见得能是方程的解，大因子不见得不是方程的解！！
//对于它们，都有机会成为答案，需要全部讨论到！然后PK最小值即可！
//如果这个约数d，满足 10 ^ d ≡ 1 (mod p) ，那么它有机会成为答案
if (qmi(10, d, p) == 1) res = min(res, d); //小约数
//如果这个约数phi/d，满足 10 ^ (phi/d) ≡ 1 (mod p) ，那么它有机会成为答案
if (qmi(10, phi / d, p) == 1) res = min(res, phi / d); //大约数
}
}
//输出
printf("Case %d: %lld\n", T++, res);
}
return 0;
}