\(AcWing\) \(243\). 一个简单的整数问题2
一、题目描述
给定一个长度为 \(N\) 的数列 \(A\)，以及 \(M\)条指令，每条指令可能是以下两种之一：
C l r d，表示把 \(A[l],A[l+1],…,A[r]\) 都加上 \(d\)。
Q l r，表示询问数列中第 \(l∼r\)个数的和。
对于每个询问，输出一个整数表示答案。
输入格式
第一行两个整数 \(N,M\)。
第二行 \(N\)个整数 \(A[i]\)。
接下来 \(M\) 行表示 \(M\)条指令，每条指令的格式如题目描述所示。
输出格式
对于每个询问，输出一个整数表示答案。
每个答案占一行。
数据范围
\(1≤N,M≤105\),\(|d|≤10000,|A[i]|≤10^9\)
二、树状数组
区间修改，单点查询
如果是区间修改，单点查询。只需用树状数组维护一个差分数组\(b\),假设查询位置\(x\)，那么\(\displaystyle \sum_{i=1}^{x}b_i\)就是\(x\)位置上的变化后的值。
区间修改+区间和查询
考虑引入区间查询。首先最暴力想，假设查询\([1,r]\)。那么\([1,r]\)的答案=\(\displaystyle \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{i}b_j\)
不妨举个特例，更直观些。假设查询\([1, 4]\)。那么\(ans=(b_1)+(b_1+b_2)+(b_1+b_2+b_3)+(b_1+b_2+b_3+b_4)=4b_1+3b_2+2b_3+1b_4\)。
换成查询\([1, r]\)。那么\(\displaystyle ans=(r+1-1)b_1+(r+1-2)b_2+(r+1-3)b_3+…+(r+1-r)b_r = (r+1)\sum_{i=1}^{r}b_i-\sum_{i=1}^{r}i*b_i\)
显然第一项用树状数组\(tr1\)维护\(b\)数组可求出,第二项求不出。令\(c=i*b[i]\)，新开一个树状数组\(tr2\)维护\(c\)就行了。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long LL;
int n, m; // n个元素，m次操作
int a[N]; //原始数组
LL tr1[N], tr2[N]; //① 保存基底数组为原数组差分数组的树状数组 ② i*b[i]的前缀和数组
//树状数组模板
#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int x, int c) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr1[i] += c, tr2[i] += (LL)x * c;
}
LL sum(int x) {
LL res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += (LL)(x + 1) * tr1[i] - tr2[i];
return res;
}
int main() {
//加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n >> m;
int x, y, k;
string op;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
add(i, a[i] - a[i - 1]); //保存基底是差分数组的树状数组
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> op >> x >> y;
if (op[0] == 'C') {
cin >> k;
add(x, k), add(y + 1, -k); //维护差分
} else //查询
printf("%lld\n", sum(y) - sum(x - 1));
}
return 0;
}
四、线段树+区间修改+懒标记+区间和查询
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;
int n, m;
int w[N];
struct Node {
int l, r;
LL sum, tag; //区间总和，修改的数值（懒标记）
} tr[N << 2];
//向祖先节点更新统计信息
void pushup(int u) {
tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum; //向父节点更新sum和
}
//父节点向子孙节点传递信息
void pushdown(int u) {
auto &root = tr[u], &ls = tr[u << 1], &rs = tr[u << 1 | 1];
if (root.tag) { //如果存在懒标记
// tag传递到子段，节段的sum和需要按 区间长度*root.tag 进行增加
ls.tag += root.tag, ls.sum += (LL)(ls.r - ls.l + 1) * root.tag;
rs.tag += root.tag, rs.sum += (LL)(rs.r - rs.l + 1) * root.tag;
//清除懒标记
root.tag = 0;
}
}
//构建
void build(int u, int l, int r) {
tr[u] = {l, r, 0, 0}; //标记范围
if (l == r) { //叶子
tr[u] = {l, r, w[l], 0}; //区间内只有一个元素l(r),区间和为w[l],不需要记录向下的传递tag
return;
}
int mid = l + r >> 1;
build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r); //左右儿子构建
pushup(u); //通过左右儿子构建后，向祖先节点反馈统计信息变化
}
//以u为根，在区间[l,r]之间全都增加d
void modify(int u, int l, int r, int d) {
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
tr[u].sum += (LL)(tr[u].r - tr[u].l + 1) * d; //总和增加
tr[u].tag += d; //懒标记+d
return;
}
pushdown(u); // 如果自己身上有旧的tag数值，在递归前需要将原tag值pushdown到子孙节点去
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (l <= mid) modify(u << 1, l, r, d); //与左区间有交集
if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, d); //与右区间有交集
pushup(u); //将结果的变更更新到祖先节点
}
//关键的查询操作
LL query(int u, int l, int r) {
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
/*懒标记的思想：在更新时只标识不修改，有查询时现用现改的思想。这么做的目的当然是怕有多组修改，
就需要修改多次,而且路径太长不划算。如果只标识不修改，直接返回，当然快了。比如修改了3次后查询一次，
也只是真正修改了一次，降低了修改次数。
*/
pushdown(u);
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
LL sum = 0;
if (l <= mid) sum = query(u << 1, l, r);
if (r > mid) sum += query(u << 1 | 1, l, r);
//左查+ 右查 = 总和
return sum;
}
int main() {
//加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
//构建线段树
build(1, 1, n);
char op;
int l, r, d;
while (m--) {
cin >> op >> l >> r;
if (op == 'C') {
cin >> d;
modify(1, l, r, d); //区间修改
} else
printf("%lld\n", query(1, l, r)); //区间查询
}
return 0;
}