一、有向图强连通分量
在有向图\(G\)中，如果两个顶点间至少存在一条互相可达的路径，称两个顶点强连通(\(strongly\) \(connected\))。如果有向图\(G\)的每两个顶点都强连通，称\(G\)是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(\(strongly\) \(connected\) \(components\))。
下图中，子图\(\{1,2,3,4\}\)为一个强连通分量，因为顶点\(1,2,3,4\)两两可达。\(\{5\},\{6\}\)也分别是两个强连通分量。
直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为\(O(N^2+M)\)。更好的方法是\(Kosaraju\)算法或\(Tarjan\)算法，两者的时间复杂度都是\(O(N+M)\)。本文介绍的是\(Tarjan\)算法。
二、Tarjan算法
\(Tarjan\)算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义\(DFN(u)\)为节点\(u\)搜索的次序编号(时间戳)，\(Low(u)\)为\(u\)或\(u\)的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序编号。由定义可以得出:
Low(u)=Min{
DFN(u), 当前节点ID号
Low(v), (u,v)为树枝边，u为v的父节点 (如果我的孩子能走到更小的号，就是我能走到的最小号)
DFN(v), (u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}
当\(DFN(u)=Low(u)\)时，以\(u\)为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下:
tarjan(u){
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点\(1\)开始\(DFS\)，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点\(u=6\)时，\(DFN[6]=LOW[6]\)，找到了一个强连通分量。退栈到\(u=v\)为止，{\(6\)}为一个强连通分量。
返回节点\(5\)，发现\(DFN[5]=LOW[5]\)，退栈后{\(5\)}为一个强连通分量。
返回节点\(3\)，继续搜索到节点\(4\)，把\(4\)加入堆栈。发现节点\(4\)向节点\(1\)有后向边，节点\(1\)还在栈中，所以\(LOW[4]=1\)。节点\(6\)已经出栈，\((4,6)\)是横叉边，返回\(3\)，\((3,4)\)为树枝边，所以\(LOW[3]=LOW[4]=1\)。
继续回到节点\(1\)，最后访问节点\(2\)。访问边\((2,4)\)，\(4\)还在栈中，所以\(LOW[2]=DFN[4]=5\)。返回\(1\)后，发现\(DFN[1]=LOW[1]\)，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{\(1,3,4,2\)}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{\(1,3,4,2\)},{\(5\)},{\(6\)}。
可以发现，运行\(Tarjan\)算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为\(O(N+M)\)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为\(Kosaraju\)算法。\(Kosaraju\)是基于对有向图及其逆图两次\(DFS\)的方法，其时间复杂度也是\(O(N+M)\)。与\(Trajan\)算法相比，\(Kosaraju\)算法可能会稍微更直观一些。但是\(Tarjan\)只用对原图进行一次\(DFS\)，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，\(Tarjan\)算法的运行效率也比\(Kosaraju\)算法高\(30\)%左右。此外，该\(Tarjan\)算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的\(Tarjan\)算法也有着很深的联系。学习该\(Tarjan\)算法，也有助于深入理解求双连通分量的\(Tarjan\)算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的\(Tarjan\)算法是以其发明者\(Robert\) \(Tarjan\)命名的。\(Robert\) \(Tarjan\)还发明了求双连通分量的\(Tarjan\)算法，以及求最近公共祖先的离线\(Tarjan\)算法，在此对\(Tarjan\)表示崇高的敬意。
网络大神的完美图解，附上以备复习之用：
三、本题题解
通过求强连通分量+缩点，可以得到一个\(DAG\)，在\(DAG\)上讨论此问题就容易了：
- 只要是出度为\(0\)的只有一个，那么此强连通分量中节点的个数就是答案。
- 如果出度为\(0\)的不只一个，那么就没有答案。
论述过程：https://lishizheng.blog.csdn.net/article/details/115121867
四、完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10010, M = 50010;
int n, m; // n个点，m条边
int out[N]; //记录一下每个强连通分量的出度
int stk[N], top; // tarjan算法需要用到的堆栈
bool in_stk[N]; //是否在栈内
int dfn[N]; // dfs遍历到u的时间
int low[N]; // 从u开始走所能遍历到的最小时间戳
int timestamp; // 时间戳,dfs序的标识,记录谁先谁后
int id[N], cnt; //强连通分量块的最新索引号
int sz[N]; // sz[i]表示编号为i的强连通分量中原来点的个数
/*
(1)求强连通分量
(2)缩点
for i=1;i<=n;i++
for i的所有邻点j
if i和j不在同一scc中:
加一条新边id[i]→id[j]
缩点操作后变成有向无环图
就能做topsort序了(此时连通分量编号id[]递减的顺序就是topsort序了)
*/
//邻接表
int e[M], h[N], idx, ne[M];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
// Tarjan算法求强连通分量
void tarjan(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++timestamp; //初始化u节点的遍历序号(连通块号),从u开始走所能遍历到的最小时间戳
stk[++top] = u; // u入栈,栈的意义一会TODO
in_stk[u] = true; //标识u在栈中
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { //枚举u的每一条出边
int j = e[i];
if (!dfn[j]) { //如果j没有被访问过
tarjan(j); // dfs继续探索
low[u] = min(low[u], low[j]); //我孩子能到达的最小遍历序号，我也可以用
} else if (in_stk[j]) //如果访问过，而且这个点出现在栈中，表示是后向边，回头路
low[u] = min(low[u], low[j]); //看看是不是可以被回头路上的low[j]改的更小
}
if (dfn[u] == low[u]) { // 找到该连通分量的最高点
++cnt; //强连通分量的序号
int x; //临时变量x,用于枚举栈中当前强连通分量中每个节点
do {
x = stk[top--]; //弹出节点
in_stk[x] = false; //标识不在栈中了
id[x] = cnt; //记录id号
sz[cnt]++; //这个强连通分量中节点的个数+1
} while (x != u); //将此强连通分量中的所有节点处理完，都出栈
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(h, -1, sizeof h); //初始化邻接表
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
}
//(1)求强连通分量
for (int i = 1; i <= n; i++) //需示枚举每个点出发尝试，否则会出现有的点没有遍历到的情况
if (!dfn[i]) tarjan(i);
//(2)缩点，求DAG中每个节点的出度
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = h[i]; ~j; j = ne[j]) {
int k = e[j]; // i->k
int a = id[i], b = id[k]; // i,k都在哪个强连通分量块中
if (a != b) out[a]++; // a的出度++
}
/*
当一个强连通的出度为0,则该强连通分量中的所有点都被其他强连通分量的牛欢迎
但假如存在两个及以上个出度=0的牛(强连通分量) 则必然有一头牛(强连通分量)
不被所有牛欢迎,见下图最右边两个强连通分量
o→o→o
↑
o→o
*/
int zeros = 0, sum = 0;
for (int i = 1; i <= cnt; i++) //枚举强连通分量块
if (!out[i]) { //如果出度是0
zeros++; //出度是0的强连通分量个数+1
sum += sz[i]; //累加此强连通分量中点的个数
if (zeros > 1) { //如果强连通分量块的数量大于1个，则无解
sum = 0;
break;
}
}
//求有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的
printf("%d\n", sum);
return 0;
}