\(AcWing\) \(1098\). 城堡问题
一、题目大意
三、前置知识
这道题的输入挺有意思,为一些数字,其实是理解为\(0 \sim 15\)的十进制数,转为二进制就是\((0000)_2 \sim (1111)_2\),这四个数位,是表示四个方向:
\(1\)表示西墙,\(2\)表示北墙,\(4\)表示东墙,\(8\)表示南墙
每个方向存在数字\(1\)表示此方向 有墙,为\(0\)表示 无墙
用墙维起来的是房间,求 房间个数 和 最大面积
对于十进制转二进制,并输出二进制的每个数位的值,办法如下:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
//将十进制转为二进制,并输出每个二进制位的值是0还是1
int n = 13;
for (int i = 3; i >= 0; i--)
cout << (n >> i & 1) << " ";
return 0;
}
四、\(bfs\)宽度优先搜索
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 55, M = N * N;
int n, m;
int g[N][N]; //地图
PII q[M]; //队列
bool st[N][N]; //标识是否走过
int dx[] = {0, -1, 0, 1}; //左上右上
int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; //西北东南 1 2 4 8 二进制位运算,参考1098_0.cpp
int bfs(int sx, int sy) {
int hh = 0, tt = -1;
q[++tt] = {sx, sy};
st[sx][sy] = true;
//一次bfs跑一个连通块,统计一个连通块的面积
int area = 1; //既然能入队列,最起码有入口房间,是一个面积
while (hh <= tt) {
PII t = q[hh++];
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int x = t.x + dx[i], y = t.y + dy[i];
if (x == 0 || x > n || y == 0 || y > m) continue;
if (st[x][y]) continue;
// 1表示西墙,2表示北墙,4表示东墙,8表示南墙
if (g[t.x][t.y] >> i & 1) continue; //有墙
//连通的房间入队列
q[++tt] = {x, y};
st[x][y] = true;
area++; //入队列时房间面积++
}
}
return area;
}
int main() {
cin >> n >> m;
//虽然在题目中说的是二进制模拟的数字,但输入时不做处理,在使用时再用位运算处理
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
int cnt = 0, area = 0; //房间数,最大面积
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (!st[i][j]) {
//从此点出发找连通块
area = max(area, bfs(i, j));
cnt++; //记录连通块个数
}
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}
五、\(dfs\)深度优先搜索 [\(void\)+全局变量法]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int g[N][N];
int st[N][N];
int n, m, ans; //注意这里的ans不能做为dfs参数进行传递,因为维护的是同一个变量
int dx[] = {0, -1, 0, 1}; //左上右上
int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; //西北东南 1 2 4 8 二进制位运算,参考1098_0.cpp
void dfs(int sx, int sy) {
st[sx][sy] = true; //标识此位置已访问过
ans++; //到达一个位置,那么面积肯定增大一个
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int x = sx + dx[i], y = sy + dy[i];
if (x == 0 || x > n || y == 0 || y > m) continue;
if (st[x][y]) continue;
if (g[sx][sy] >> i & 1) continue; //自带数位压缩表示法~,有墙
dfs(x, y);
}
}
int cnt, area;
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (!st[i][j]) {
cnt++; //连通块数量
ans = 0; //清零重新统计
dfs(i, j); //开始Flood Fill
area = max(area, ans); // PK目前的最大面积
}
//输出结果
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}
六、\(dfs\)深度优先搜索 [\(int\)+参数变量法]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int g[N][N];
int st[N][N];
int n, m;
int dx[] = {0, -1, 0, 1}; //左上右上
int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; //西北东南 1 2 4 8 二进制位运算,参考1098_0.cpp
int dfs(int sx, int sy) {
st[sx][sy] = true; //标识此位置已访问过
int ans = 1; //自己贡献一个面积
for (int i = 0; i < 4; i++) {
int x = sx + dx[i], y = sy + dy[i];
if (x == 0 || x > n || y == 0 || y > m) continue;
if (st[x][y]) continue;
if (g[sx][sy] >> i & 1) continue; //自带数位压缩表示法~,有墙
ans += dfs(x, y); //孩子们继续贡献面积
}
return ans; //我们的总面积
}
int cnt, area;
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
if (!st[i][j]) {
cnt++; //连通块数量
area = max(area, dfs(i, j)); // PK目前的最大面积
}
//输出结果
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}
七、总结与反思
* \(bfs\)时,需要注意一下起点的初始加入,标记个数++
- \(dfs\)时,也是在进入函数执行时,就意味着此位置可达,标识个数++
- 此题的\(dfs\)时,\(ans\)有点意思,只能用全局变量,不能使用参数传递,原因很简单:多个分支需要汇总,此时,可以采用\(void\)+全局变量,当然,也可以采用\(int\)返回。
八、并查集解法
2022-10-08晚补充
这道题难度并不大,只要熟练使用 并查集 即可。给我们一张地图,#
代表墙壁,我们用1
表示西墙,2
表示北墙,4
表示东墙,8
表示南墙,将没有墙壁隔开的连通的方块记为一个房间,题目共有两问:
- 房间的总数
- 最大的房间的面积
这道题可以使用 并查集 和 \(FloodFill\) 来做,这里讲解一下使用 并查集 的做法。
我们可以从城堡 左上角 开始 逐行枚举,每次枚举 北边 和 东边 两个方向(当然,也可以是 南边 和 东边 两个方向),就可以不漏的将可以连接在一起的房间都尽可能的连通,假设枚举到的位置的数\(p=9\),我们需要枚举他东边的墙,我们只需要让\(p \& 4\)判断是否是\(1\),若是\(1\)则证明 东边有墙 。当枚举到的方向没有墙的话,我们就是用 并查集 将这两个方块加入到一个连通块中,初始cnt=n*m
,也就是开始的时候有n*m
个房间,我们 连通一次,少一个房间,最后cnt
就是房间的个数。
如图,共有五个房间:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55, M = N * N;
// 1表示西墙,2表示北墙,4表示东墙,8表示南墙
// 模拟向北和向东两个方向
// int dx[] = {-1, 0}; //向北走时,x-1,y不变;向东走时,x不变,y+1
// int dy[] = {0, 1};
// int dw[] = {2, 4}; // 2:北墙, 4:东墙
// 模拟向东和向南两个方向 也是可以的
// int dx[] = {0, 1}; //向东走时,x不变,y+1; 向南走时,x+1,y不变
// int dy[] = {1, 0};
// int dw[] = {4, 8}; // 4:东墙, 8:南墙
// 模拟向南向西 也是可以的
// int dx[] = {1, 0}; //向南走时,x+1,y不变;向西走时,x不变,y-1
// int dy[] = {0, -1};
// int dw[] = {8, 1}; // 8:南墙, 1:西墙
// 模拟向南向东 也是可以的
int dx[] = {1, 0}; //向南走时,x+1,y不变;向东走时,x不变,y+1
int dy[] = {0, 1};
int dw[] = {8, 4}; // 8:南墙, 4:东墙
int n, m; // n行m列
int g[N][N]; //地图
int p[M], sz[M]; //并查集数组,与并查集内成员个数
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main() {
//读入地图
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> g[i][j];
//初始化并查集
for (int i = 0; i < M; i++) p[i] = i, sz[i] = 1; //每个人是自己的祖先,并且自己家族的成员数量为1
int cnt = n * m, area = 1; // 总共最多有n*m个房间,最大面积最小是1
//开始从上到下,从左到右,枚举每个位置
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
//探讨这个位置的房间,是不是能够向北和向东两个方向前进,也就是检查向北和向东是不是会遇到墙
for (int u = 0; u < 2; u++)
if (!(g[i][j] & dw[u])) { //如果没有遇到墙
int x = i + dx[u], y = j + dy[u]; //获取新的位置
if (x <= 0 || x > n || y <= 0 || y > m) continue; //出界判断
int a = (i - 1) * m + j, b = (x - 1) * m + y; // a是指原位置的编号,b是指拓展后位置的编号
// int a = i * m + j, b = x * m + y; //并查集的编号其实是很灵活的,不是非得啥号不可.上面的那行代码一样可以AC
// join 合并并查集
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) {
cnt--; // 合并后,连通块的数量将少了一个
sz[b] += sz[a]; // a家族成员加入b家族中
p[a] = b; // a认b做父亲
area = max(area, sz[b]); // 更新答案
}
}
//输出房间总数,输出最大面积
printf("%d\n%d\n", cnt, area);
return 0;
}