P2822 [NOIP2016 提高组] 组合数问题

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一、理解与感悟

1、通过杨辉三角形象记忆帕斯卡公式（代码实现的递推式）

2、二维前缀和优化
(1)、C数组默认初始值-1,之所以初始为-1，是怕默认的0无法描述是模完变成的0，还是天生默认就是0，-1就有这个好处。

(2)、在计算二维前缀和时，判断是不是0，是0表示，找到一个模后的结果，不是0，（也不关心是-1，还是什么其它整数，反正不是0），就表示没有找到模后的结果。

二、帕斯卡公式（杨辉三角）+暴力计算

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2010;  //n的数值上限

int t;       //t次查询
int n;       //n个数字中
int m;       //找m个数字组合
int k;       //给定k，求k的倍数
int C[N][N]; //组合数数组

int main() {
    cin >> t >> k;
    //预处理杨辉三角形
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        //base case
        C[i][0] = C[i][i] = 1; //组合数C(n,0)=1 组合数C(n,n)=c(n,0)=1
        //递推生成其它组合数
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % k;
    }

    //处理t次询问
    while (t--) {
        int ans = 0;
        cin >> n >> m;
        //这是最朴素的方法，但每次计算，性能差，因为询问次数多，每次都现从头计算，
        //不是离线计算，是在线计算，不适合多次询问这一方式,可以考虑采用某一种方法进行离线计算就好了。
        //这时就需要引入二维前缀和，否则有两个点TLE，只会得90分。
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= min(i, m); j++)
                if (!C[i][j]) ans++;
        cout << ans << endl;
    }
}

三、帕斯卡公式+二维前缀和优化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2010;  //n的数值上限

int t;       //t次查询
int n;       //n个数字中
int m;       //找m个数字组合
int k;       //给定k，求k的倍数
int C[N][N]; //组合数数组
int s[N][N]; //二维前缀和

int main() {
    //默认初始值-1,之所以初始为-1，是怕默认的0无法描述是模完变成的0，还是天生默认就是0，-1就有这个好处。
    memset(C, -1, sizeof C);

    cin >> t >> k;
    //预处理杨辉三角形
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        //base case
        C[i][0] = C[i][i] = 1; //组合数C(n,0)=1 组合数C(n,n)=c(n,0)=1
        //递推生成其它组合数
        //因为是求组合数C(A,B)，那么A一定要大于等于B，否则就不对了。
        //所以，j的循环范围最大就只能是i
        for (int j = 1; j < i; j++)//因为一头一尾j-->0和i都被手动设置了1，所以循环的范围就是中间剩下的了。
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % k;//因为C数组中已有的数据都是被%k后存入的，
        // 所以这里做加法前不用再%,再%也是那么回事，反而速度更慢了。
    }

    //标准的二维前缀和
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < N; j++)
            s[i][j] = (C[i][j] == 0 ? 1 : 0) + s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1];

    //处理t次询问
    while (t--) {
        cin >> n >> m;
        cout << s[n][m] << endl;
    }
}