全期望公式：
全概率公式：
【题意】：
一个软件有s个子系统，会产生n种bug。
某人一天发现一个bug，这个bug属于某种bug，发生在某个子系统中。
求找到所有的n种bug，且每个子系统都找到bug，这样所要的天数的期望。
【分析】：需要注意的是：bug的数量是无穷大的，所以发现一个bug，出现在某个子系统的概率是1/s，
属于某种类型的概率是1/n。
那么dp[i][j]表示还要找到i个系统，还要找到j种病毒的概率。
具体dp方程看代码。但怎么来说这个dp方程的正确性都怪怪的。
s,n<=1000
【代码】：
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <math.h> 4 5 using namespace std; 6 7 double dp[1005][1005]; 8 int S,N; 9 int main(){ 10 while(~scanf("%d%d",&N,&S)){ 11 double n=N+0.0; 12 double s=S+0.0; 13 dp[S][N]=0; 14 for(int i=S;i>=0;i--){ 15 for(int j=N;j>=0;j--){ 16 double ans=1; 17 if (i==S && j==N) continue; 18 if (i<S) ans+=dp[i+1][j]*(s-i)*j/(s*n); 19 if (j<N) ans+=dp[i][j+1]*(n-j)*i/(s*n); 20 if (i<S && j<N) ans+=dp[i+1][j+1]*(s-i)*(n-j)/(s*n); 21 dp[i][j]=ans/(1.0-i*j/(s*n)); 22 } 23 } 24 printf("%.4f ",dp[0][0]); 25 } 26 return 0; 27 }
【题意】：
有n个格子，掷色子的掷出的数目就是你一次到移动格数(1--6的点数)。
其中有m个飞行通道可以让你直接从第xi格飞到第yi格。
传送中是连续的，而且不要投骰子
问你走到终点的期望是多少。
【分析】：
dp[i]:开始时处于i位置时要走的期望步数。
一道状态转移要特判的dp，因为一旦从x点可以直接到y点的话，则dp[x]=dp[y];
否则dp[i]=1/6*sigm(dp[i+1]...dp[i+6])+1，i>=N时dp[i]=1;
具体处理看代码。
【代码】：
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <math.h> 4 5 using namespace std; 6 7 int N,M; 8 int c[100010]; 9 double dp[100010]; 10 int dfs(int i){ 11 if (c[i]==i) return c[i]; 12 else return dfs(c[i]); 13 } 14 int main(){ 15 while(~scanf("%d%d",&N,&M)){ 16 if (N==0 && M==0) break; 17 for(int i=0;i<=N;i++){ 18 c[i]=i; 19 } 20 for(int i=1;i<=M;i++){ 21 int x,y; 22 scanf("%d%d",&x,&y); 23 c[x]=y; 24 } 25 for(int i=0;i<=N;i++){ 26 if (c[i]==i) continue; 27 else c[i]=dfs(i); 28 } 29 for(int i=N;i<=N+7;i++) { 30 dp[i]=0; 31 c[i]=i; 32 } 33 for(int i=N-1;i>=0;i--){ 34 double ans=0; 35 if (c[i]!=i){ 36 dp[i]=dp[c[i]]; 37 continue; 38 } 39 for(int j=1;j<=6;j++) { 40 int x=i+j; 41 ans+=dp[c[x]]; 42 } 43 ans=ans*(1/6.0)+1; 44 dp[i]=ans; 45 } 46 printf("%.4f ",dp[0]); 47 } 48 return 0; 49 }
【题意】：（%>_<%异次元杀阵有没有）
有n个房间，由n-1条隧道连通起来，实际上就形成了一棵树，
从结点1出发，开始走，在每个结点i都有3种可能：
1.被杀死，回到结点1处（概率为ki）
2.找到出口，走出迷宫 （概率为ei）
3.和该点相连有m条边，随机走一条
求：走出迷宫所要走的边数的期望值。
【分析】：（按照kuangbin的博客推导了一遍，写在本子上，无耻地将之分析粘过来）
设 E[i]表示在结点i处，要走出迷宫所要走的边数的期望。E[1]即为所求。
叶子结点：
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)*(E[father[i]] + 1);
= ki*E[1] + (1-ki-ei)*E[father[i]] + (1-ki-ei);
非叶子结点：（m为与结点相连的边数）
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)/m*( E[father[i]]+1 + ∑( E[child[i]]+1 ) );
= ki*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei)/m*∑(E[child[i]]) + (1-ki-ei);
设对每个结点：E[i] = Ai*E[1] + Bi*E[father[i]] + Ci;
对于非叶子结点i，设j为i的孩子结点，则
∑(E[child[i]]) = ∑E[j]
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[father[j]] + Cj)
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[i] + Cj)
带入上面的式子得
(1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj)*E[i] = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj)*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei) + (1-ki-ei)/m*∑Cj;
由此可得
Ai = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Bi = (1-ki-ei)/m / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Ci = ( (1-ki-ei)+(1-ki-ei)/m*∑Cj ) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
对于叶子结点
Ai = ki;
Bi = 1 - ki - ei;
Ci = 1 - ki - ei;
从叶子结点开始，直到算出 A1,B1,C1;
E[1] = A1*E[1] + B1*0 + C1;
所以
E[1] = C1 / (1 - A1);
若 A1趋近于1则无解...
【代码】：
1 /* 2 3 */ 4 #include <iostream> 5 #include <stdio.h> 6 #include <math.h> 7 #include <vector> 8 #define eps 1e-10 9 using namespace std; 10 vector<int>G[10010]; 11 double A[10010]; 12 double B[10010]; 13 double C[10010]; 14 double e[10010],k[10010],p[10010]; 15 16 int N,K; 17 bool dfs(int u,int fa){ 18 int m=G[u].size(); 19 double sumA=0,sumB=0,sumC=0; 20 for(int i=0;i<m;i++){ 21 int v=G[u][i]; 22 if (v==fa) continue; 23 if (!dfs(v,u)) return false; 24 sumB+=p[u]/m*B[v]; 25 sumA+=p[u]/m*A[v]; 26 sumC+=p[u]/m*C[v]; 27 } 28 if (1-sumB<eps) return false; 29 A[u]=(k[u]+sumA)/(1-sumB); 30 B[u]=p[u]/m/(1-sumB); 31 C[u]=(p[u]+sumC)/(1-sumB); 32 return true; 33 } 34 int main(){ 35 int t; 36 scanf("%d",&t); 37 for(int cas=1;cas<=t;cas++){ 38 scanf("%d",&N); 39 int u,v; 40 for(int i=0;i<=N;i++) G[i].clear(); 41 for(int i=0;i<N-1;i++){ 42 scanf("%d%d",&u,&v); 43 G[u].push_back(v); 44 G[v].push_back(u); 45 } 46 for(int i=1;i<=N;i++){ 47 scanf("%lf%lf",&k[i],&e[i]); 48 k[i]/=100; 49 e[i]/=100; 50 p[i]=1-k[i]-e[i]; 51 } 52 printf("Case %d: ",cas); 53 if (dfs(1,-1)==false || (1-A[1]<eps)){ 54 printf("impossible "); 55 }else { 56 double ans=C[1]/(1-A[1]); 57 printf("%.6f ",ans); 58 } 59 } 60 return 0; 61 }
【题意】：有一个人被困在一个 R*C(2<=R,C<=1000) 的迷宫中，起初他在 (1,1) 这个点，迷宫的出口是 (R,C)。在迷宫的每一个格子中，他能花费 2 个魔法值开启传送通道。假设他在 (x,y) 这个格子中，开启传送通道之后，有 p_lift[i][j] 的概率被送到 (x,y+1)，有 p_down[i][j] 的概率被送到 (x+1,y)，有 p_loop[i][j] 的概率被送到 (x,y)。问他到出口需要花费的魔法值的期望是多少。
【分析】：DP[i][j]表示现在处在(i,j)点时，需要花费的期望天数
dp[i][j]=mov0*dp[i][j]+mov1*dp[i][j+1]+mov2*dp[i+1][j]+2
写出全期望公式，但是要防止除0的发生，即1-mov0<eps,特判跳过这点就行了。表示不能走到这一点
即：
for(int i=N;i>=1;i--){
for(int j=M;j>=1;j--){
if (vis[i][j]) continue;
double ans=2;
if (!vis[i][j+1]) ans+=mov[i][j][1]*dp[i][j+1];
if (!vis[i+1][j]) ans+=mov[i][j][2]*dp[i+1][j];
dp[i][j]=ans/(1-mov[i][j][0]);
}
}
【代码】：
1 /* 2 3 */ 4 #include <iostream> 5 #include <stdio.h> 6 #include <math.h> 7 #include <vector> 8 #include <string.h> 9 #define eps 1e-10 10 using namespace std; 11 //int a[][2]={{0,0},{0,1},{1,0}}; 12 double dp[1004][1004]; 13 double mov[1004][1004][3]; 14 bool vis[1004][1004]; 15 int N,M; 16 int main(){ 17 while(~scanf("%d%d",&N,&M)){ 18 memset(vis,false,sizeof(vis)); 19 for(int i=1;i<=N;i++){ 20 for(int j=1;j<=M;j++){ 21 for(int k=0;k<3;k++){ 22 scanf("%lf",&mov[i][j][k]); 23 if (1-mov[i][j][0]<eps) vis[i][j]=true; 24 } 25 } 26 } 27 //dp[i][j]=mov0*dp[i][j]+mov1*dp[i][j+1]+mov2*dp[i+1][j]+2; 28 //dp[N][M]=0; 29 //dp[1][1]=ans; 30 for(int i=0;i<=N+1;i++) dp[i][M+1]=0; 31 for(int i=0;i<=M+1;i++) dp[N+1][i]=0; 32 for(int i=N;i>=1;i--){ 33 for(int j=M;j>=1;j--){ 34 if (vis[i][j]) continue; 35 double ans=2; 36 if (!vis[i][j+1]) ans+=mov[i][j][1]*dp[i][j+1]; 37 if (!vis[i+1][j]) ans+=mov[i][j][2]*dp[i+1][j]; 38 dp[i][j]=ans/(1-mov[i][j][0]); 39 } 40 } 41 printf("%.3f ",dp[1][1]); 42 } 43 return 0; 44 }
【题意】：
2^n支球队按照竞赛图踢足球，
给你任意两支球队相互之间踢赢的概率，
求最后那支球队最可能夺冠。
【分析】：每轮剩下的队伍是一定的，而且到底和谁PK也是一定的，按竞赛图枚举即可
//dp[i][j] = ∑dp[i-1][k]*p[j][k]*dp[i-1][j]
//k表示可能与j 比赛的队伍,那么k有哪些呢？
//当i=1时，和1
//当i=2时，和3,4
//当i=3时，和5,6,7,8
//就是 2^(i-1)+1---->2^(i)
【代码】：
1 /* 2 题意：2^n支球队按照竞赛图踢足球， 3 给你任意两支球队相互之间踢赢的概率， 4 求最后那支球队最可能夺冠。 5 */ 6 #include <iostream> 7 #include <stdio.h> 8 #include <math.h> 9 #include <vector> 10 #include <string.h> 11 #define eps 1e-10 12 using namespace std; 13 //dp[i][j] = ∑dp[i-1][k]*p[j][k]*dp[i-1][j] 14 //k表示可能与j 比赛的队伍,那么k有哪些呢？ 15 //当i=1时，和1 16 //当i=2时，和3,4 17 //当i=3时，和5,6,7,8 18 //就是 2^(i-1)+1---->2^(i) 19 double dp[10][150]; 20 double p[150][150]; 21 int N; 22 int main(){ 23 while(~scanf("%d",&N)&& N!=-1){ 24 for(int i=0;i<(1<<N);i++){ 25 dp[0][i]=1; 26 } 27 for(int i=0;i<(1<<N);i++){ 28 for(int j=0;j<(1<<N);j++){ 29 scanf("%lf",&p[i][j]); 30 } 31 } 32 for(int i=1;i<=N;i++){ 33 for(int j=0;j<(1<<N);j++){ 34 dp[i][j]=0; 35 for(int k=0;k<(1<<N);k++){ 36 if(((j>>(i-1))^1)==(k>>(i-1))){ 37 dp[i][j]+=dp[i-1][k]*dp[i-1][j]*p[j][k]; 38 // cout<<i<<","<<j<<","<<k<<":"<<dp[i][j]<<endl; 39 } 40 } 41 } 42 } 43 double m=-1; 44 int ans=-1; 45 for(int i=0;i<(1<<N);i++){ 46 if (dp[N][i]>m){ 47 m=dp[N][i]; 48 ans=i; 49 } 50 } 51 printf("%d ",ans+1); 52 } 53 return 0; 54 }
【题意】：
【题意】：
【题意】：