所有括号匹配的字符串

问题描述：

 N对括号能够得到的有效括号序列有哪些？

如N=3时，有效括号串共5个，分别为：

()()(), ()(()), (())(), (()()), ((()))

问题分析：

任何一个括号，都可以写成A(B)：

• A， B都若干括号对形成的合法串（可以为空串）；
• 若N=0，括号序列为空；
• 若N=1，括号序列只能是()一种。

 当0<=i<=N-1时，：

• 计算i对括号的可行序列A；
• 计算N-i-i对括号的可行序列B；
• 组合得到A(B)。

 可以用递归的方法解决问题，但是在coding时出现了各种各样的问题，所以我决定还是用非递归的方法解决，

但是需要用额外的空间来存储之前计算的结果。

code:

/**
     * Given the number N, return all of the correct brackets.
     * @param n
     * @return
     */
    @SuppressWarnings("unchecked")
    public static ArrayList<String> getBracketsOfN(int n) {
        @SuppressWarnings("rawtypes")
        ArrayList[] dp = new ArrayList[n+1];
        for(int i=0; i<dp.length; i++)
            dp[i] = new ArrayList<String>();
        dp[0].add("");
        dp[1].add("()");
        if(n == 0) 
            return dp[0];
        if(n == 1) 
            return dp[1];
        int count = 2;
        while(count < n+1) {
            ArrayList<String> lcount = dp[count];
            for(int i=0; i<count; i++) {
                ArrayList<String> l1 = dp[i];
                ArrayList<String> l2 = dp[count-i-1];
                for(int j=0; j<l1.size(); j++) {
                    for(int k=0; k<l2.size(); k++) {
                        StringBuffer sb = new StringBuffer();
                        sb.append(l1.get(j));
                        sb.append("(");
                        sb.append(l2.get(k));
                        sb.append(")");
                        lcount.add(sb.toString());
                    }
                }
            }
            dp[count++] = lcount;
        }
        return dp[n];
    }

Catalan数。

通过上面额分析可以看到，当输入的n从1开始，构成的数刚好为卡特兰数，分析括号种数形成的数列，可以得出卡特兰数的形成过程。（使用DP）

code：

/**
     * Get the nth Catalan number.
     * @param n
     * @return
     */
    public static int getCatalanNumber(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2; i<n+1; i++) {
            int t = 0;
            for(int j=0; j<i; j++) {
                t += dp[j] * dp[i-j-1];
            }
            dp[i] = t;
        }
        return dp[n];
    }