和为S的连续正数序列

题目描述
小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求计算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)。没多久,他就得到另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!

输出描述:

输出所有和为S的连续正数序列。序列内按照从小至大的顺序，序列间按照开始数字从小到大的顺序

方法一
暴力破解

	public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
		ArrayList<ArrayList<Integer> > allList = new ArrayList<ArrayList<Integer> >();
		if(sum <= 1) {
			return allList;
		}

		int mid = sum;

		for (int i = 1; i < mid; i++) {
			int pag = i;
			ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
			list.add(i);
			for (int j = i + 1; j < mid; j++) {
				pag += j;
				if(pag < sum) {
					list.add(j);
				}
				else if(pag > sum) {
					list = null;
					break;
				}
				else {
					list.add(j);
					allList.add(new ArrayList<Integer>(list));
				}
			}
		}

		return allList;
	}

方法二
采用双指针技术，就是相当于有一个窗口，窗口的左右两边就是两个指针，我们根据窗口内值之和来确定窗口的位置和宽度。

	public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence_2(int sum) {
		ArrayList<ArrayList<Integer> > allList = new ArrayList<ArrayList<Integer> >();
		//两个起点，相当于动态窗口的两边，根据其窗口内的值的和来确定窗口的位置和大小
		int low = 1, high = 2;
		while(high > low) {
			//由于是连续的，差为1的一个序列，那么求和公式是(a0+an)*n/2
			int cur = (high + low) * (high - low + 1) / 2;
			//相等，那么就将窗口范围的所有数添加进结果集
			if(cur == sum) {
				ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
				for (int i = low; i <= high; i++) {
					list.add(i);
				}
				allList.add(list);
				low++;
			}
			//如果当前窗口内的值之和小于sum，那么右边窗口右移一下
			else if(cur < sum) {
				high++;
			}
			//如果当前窗口内的值之和大于sum，那么左边窗口右移一下
			else {
				low++;
			}
		}
		return allList;
	}

方法三
我觉得很棒的一个思路，使用等差数列的数学知识来进行求解

等差数列的通项公式：$a_n$ = $a_1$ + (n - 1) * d，首项为$a_1$，公差d。
等差数列的前n项和公式：
$S_n$=$a_1$ * n + [n * (n - 1) * d] / 2
或：$S_n$= [n * ($a_1$ + $a_n$)] / 2

1. 由于我们要找的是和为S的连续正数序列，因此这个序列是个公差为1的等差数列，而这个序列的中间值代表了平均值的大小。假设序列长度为n，那么这个序列的中间值可以通过（S / n）得到，知道序列的中间值和长度，也就不难求出这段序列了。
2. 满足条件的n分两种情况：
   n为奇数时，序列中间的数正好是序列的平均值，所以条件为：(n & 1) == 1 && sum % n == 0；
   n为偶数时，序列中间两个数的平均值是序列的平均值，而这个平均值的小数部分为0.5，所以条件为：(sum % n) * 2 == n.
3. 由题可知n >= 2，那么n的最大值是多少呢？我们完全可以将n从2到S全部遍历一次，但是大部分遍历是不必要的。为了让n尽可能大，我们让序列从1开始，
   根据等差数列的求和公式：S = (1 + n) * n / 2，得到：n < $sqrt{2S}$

最后举一个例子，假设输入sum = 100，我们只需遍历n = 13~2的情况（按题意应从大到小遍历），n = 8时，得到序列[9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]；n = 5时，得到序列[18, 19, 20, 21, 22]。
完整代码：时间复杂度为O($sqrt{n}$)

	public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence_3(int sum) {
		ArrayList<ArrayList<Integer>> allList = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
		
		for (int i = (int) Math.sqrt(2 * sum); i >= 2; i--) {
			if((i & 1) == 1 && sum % i == 0 || (sum % i) * 2 == i) {
				ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
				for (int j = 0, k = (sum / i) - (i - 1) / 2; j < i; j++, k++) {
					list.add(k);
				}
				allList.add(list);
			}
		}
		
		return allList;

	}