洛谷 P5345 题解

题解

对于每个肥宅 \(i\) 考虑，第 \(m\) 天的体重显然应该是 \(k_i^m\bmod g_i\)，对于目标体重 \(r_i\)，会得到如下式子：

\[k_i^m\equiv r_i\pmod{g_i} \]

换个显然的形式：

\[a^m\equiv b\pmod{p} \]

注意到这里 \(p\) 不是质数，显然是一个 exBSGS 可以求解的问题。

然而只有一个特解 \(u\) 并不能解决「有多个肥宅，求至少需要经过的天数」这样的问题，我们需要找出它的通解。

假设现在用 exBSGS 求出了一个特解 \(u\)，设再过 \(d\) 天又能符合条件。

显然这个 \(d\) 就是满足 \(a^{u+d}\equiv a^u\pmod{p}\) 的最小正整数解。

看起来是要求 \(a^d\equiv1\pmod{p}\) 的最小正整数解。

这里已经非常显然了，根据阶有关的知识，其实就是求 \(\delta_p(a)\)。

求阶的方式也很简单：

• 若 \(\gcd(a,p)>1\) 时无解，此时原同余方程只有一个特解 \(u\)。
• 否则有 \(a^{\varphi(p)}\equiv1\pmod{p}\)，必有 \(\delta_p(a)\mid\varphi(p)\)，对 \(\varphi(p)\) 不断试除质因子即可得到 \(\delta_p(a)\)。原同余方程的通解为 \(x\equiv u\pmod{\delta_p(a)}\)。

当你迫不及待地求出阶后，便开心地发现自己在样例 #4（\(a=14,b=44,p=60\)）WA 了。

实际上要求的并不是 \(\delta_p(a)\)。

看下原目标：\(a^{u+d}\equiv a^u\pmod{p}\)，即 \(a^db\equiv b\pmod{p}\)。

此处并没有说 \(b\perp p\)，\(b^{-1}\) 可能并不存在，所以不能直接消掉 \(b\)。

也挺好解决的，记 \(t=\gcd(p,b),p'=\frac{p}{t}\)，有\(a^d\times\frac{b}{t}\equiv\frac{b}{t}\pmod{p'}\)，此时 \(\frac{b}{t}\perp p'\)，可以直接消掉。

所以要求的应该是 \(\delta_{p'}(a)\)。

现在变成了求阶线性同余方程组了（\(g_i'=\frac{g_i}{\gcd(g_i,r_i)}\)，应该挺显然的）：

\[\begin{cases} x&\equiv& u_1\pmod{\delta_{g_1'}(k_1)}\\ x&\equiv& u_2\pmod{\delta_{g_2'}(k_2)}\\ &\vdots&\\ x&\equiv& u_n\pmod{\delta_{g_n'}(k_n)} \end{cases} \]

此处显然也不保证模数互质，需要使用 exCRT。

当你迫不及待地求出答案后，发现自己又听取 WA 声一片：

正确操作：当发现要做 CRT 之后，第一时间观察 \(g_i\) 的 \(\operatorname{lcm}\) 性质。发现，没有性质。来人，上高精

合并 \(\operatorname{lcm}\) 是做不了了，考虑什么情况下可以不合并。

如果求出了某个答案 \(x\)，发现它能符合所有的同余方程，这时候显然没有必要去取 \(\operatorname{lcm}\) 了。

假设前 \(k\) 个同余方程解出的答案是 \(x\equiv ans\pmod{M}\)（\(M>10^9\)），我们考虑直接尝试 \(A\) 能否符合第 \(k+1\) 个方程。如果不行的话，显然要合并。

看下如果要合并，exCRT 老师会发生甚么事（代码来自 exCRT 模板题解）：

ans += x*M！答案直接加上若干个 \(M\)，显然是超过 \(10^9\) 范围了，此时可以直接返回无解。

当然，和屠龙勇士类似，本题的最终答案一定要大于 \(\max\{u_i\}\)，最后需要加一下。