洛谷 P5136 题解

P5136 sequence 题解

发现要求的是带根号的，考虑二次剩余共轭。

参考 [JLOI2015]有意义的字符串。

令 \(p=\frac{1+\sqrt{5}}{2},q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)，显然有：

1. \(p+q=1\)
2. \(pq=-1\)

对于方程 \(x^2-x-1\)，\(p,q\) 即为方程两根。

直接求 \(p^n\) 较为困难，考虑记 \(f_n=p^n+q^n\)。有：

\[\begin{array}{c} p^n+q^n=(p^{n-1}+q^{n-1})(p+q)-(p^{n-2}+q^{n-2})pq\\ \Updownarrow\\ f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \end{array} \]

根据这个递推式和上面的特征方程，发现这是一个斐波那契数列，首项可以手推：\(f_0=p^0+q^0=2,f_1=p+q=1\)。

注意到最后答案应该是 \(f_n-q^n\)，发现 \(\left|q\right|<\overline\phi\)，根据上取整的性质，有 \(\texttt{ans}=f_n+[n\text { is odd}]\)。

至此，可以用矩阵快速幂在 \(\Theta(T\log n)\) 的时间复杂度内解决本题。

不过根据斐波那契循环节的常识，本题还能继续优化。

发现模数 \(998244353\equiv3\pmod{5}\)，则循环节为 \(2\times(998244353+1)\)（详见 斐波那契循环节）。

至此，可以通过 \(n\le10^{114514+1919810}\) 的数据了，复杂度与 \(n\) 无关（除读入）。

时间复杂度 \(\Theta(T\log 998244353)=\Theta(T)\)（雾

时间复杂度 \(\Theta(T\log p)\)。

还可以继续拓展。若 \(p\) 不为质数，则可以继续分解（详见 斐波那契循环节）求出循环节 \(G\)，由于 \(G\le 6p\)，时间复杂度 \(\Theta(\sqrt{p}+\log p)\sim\Theta(T\log p)\)。

更进一步，发现有多组询问，我们考虑降低一次查询的复杂度。

类似 BSGS 的思想，我们可以对矩阵幂分块，记转移矩阵为 \(P\)，\(S = \sqrt{p}\)，用哈希表记录 \(P^S,P^{2S},P^{3S},\cdots\) 和 \(P,P^2,\cdots,P^{S-1}\)，求解时只需完成三个矩阵相互乘即可。

时间复杂度 \(\Theta(\sqrt{p}+\log p)\sim\Theta(T)\)。

CODE

// Problem: P5136 sequence
// From: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P5136
// Time: 2022-03-06 15:59
// Author: lingfunny

#include <bits/stdc++.h>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
#define LL long long
const int mod = 998244353, loop = (mod+1)<<1, S = ceil(sqrt(loop));
using namespace std;

int tt, n;
inline int mul(int x, int y) { return (LL)x*y%mod; }

struct matrix {
	int a[2][2], n, m;
	inline matrix operator * (const matrix& rhs) const {
		matrix res;
		res.n = n, res.m = rhs.m;
		for(int i = 0; i < n; ++i)
		for(int j = 0; j < rhs.m; ++j) {
			res.a[i][j] = 0;
			for(int k = 0; k < m; ++k)
			(res.a[i][j] += mul(a[i][k], rhs.a[k][j])) %= mod;
		}
		return res;
	}
} A = { { {2, 1}, {0, 0} }, 1, 2 }, ls[S+5];
const matrix P = { { {0, 1}, {1, 1} }, 2, 2 };
gp_hash_table <int, matrix> gs;
inline void init() {
	matrix x = {{{1,0},{0,1}},2,2}, y;
	gs[0] = x;
	for(int i = 0; i < S; ++i) {
		ls[i] = x;
		x = x * P;
	}
	y = x;
	for(int i = 1; i <= S; ++i) {
		gs[i] = y;
		y = y * x;
	}
}
#define GC getchar()
inline int read() {
	unsigned x = 0; char ch = GC;
	while(ch < '0') ch = GC;
	while('0' <= ch) { x = ((x<<1) + ((LL)x<<3) + (ch^48)) % loop; ch = GC; }
	return x;
}

signed main() {
	init();
	tt = read();
	while(tt--) {
		n = read();
		A.a[0][0] = 2; A.a[0][1] = 1;
		A = A * (gs[n/S] * ls[n%S]);
		printf("%d\n", (A.a[0][0]+(n&1))%mod);
	}
	return 0;
}