[bzoj1045] [洛谷P2512] [HAOI2008] 糖果传递

Description###

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input###

第一行一个正整数nn<=1'000'000，表示小朋友的个数．
接下来n行，每行一个整数ai，表示第i个小朋友得到的糖果的颗数．

Output###

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input###

4

1

2

5

4

Sample Output###

4

---

想法##

设第(i)个小朋友从他左边小朋友那里得到 (l_i) 个糖果，向他右边的小朋友传递 (r_i) 个糖果
（(l_i) 与 (r_i) 都可以为负数）
显然 (l_i=r_{i-1}) ,特殊地 (l_1=r_n)
设(p)为最终每个小朋友手中的糖果数
则有 (l_i+a_i-r_i=p) , 即 $ r_i=l_i+(a_i-p) $
而我们又有 (l_i=r_{i-1})
一直递归下去有 $ r_i=l_1+(a_1-p)+(a_2-p)+(a_3-p)+…+(a_i-p) $
最终答案为 (|r_1|+|r_2|+…+|r_n|)
我们可以记下 (a_i-p) 的前缀和为 (sum_i)
那么 (ans=|l_1+sum_1|+|l_1+sum_2|+…+|l_1+sum_n|)
绝对值是个美妙的东西，(|l_1+sum_i|) 可想为数轴上 (-l_i) 与 (sum_i) 的距离
那么(ans)的最小值在 (-l_1) 取 (sum_i) 中位数时取到

求出(sum_i)及其中位数后计算即可。

---

代码##

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1000005;

int a[N];
ll sum[N],p;
int n;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        p+=a[i];        
    }
    p=p/n;
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        sum[i]=sum[i-1]+a[i]-p;
    
    sort(sum+1,sum+1+n);
    ll l=sum[n/2+1],ans=0; //注意：中位数为n/2+1而不是n/2
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(sum[i]-l);
    printf("%lld
",ans);
    
    return 0;    
}