陶哲轩实分析 习题解答
习题 3.3
3.3.1
(1) 证明自反性
∀x∈X,f(x)=f(x)
所以 f=f
(2) 证明对称性
假设 f=g
那么 ∀x∈X,f(x)=g(x)
所以 ∀x∈X,g(x)=f(x)
所以 g=f
(3) 传递性
假设 f=g,g=h
那么有
∀x∈X,f(x)=g(x) ∀x∈X,g(x)=h(x)
所以∀x∈X,f(x)=h(x)
所以 f=h
3.3.2
(1) 证明。当 f 和 g 都是单射时。g∘f 也是单射。
反证法： 设存在不同样的 x1 和 x2，满足 (g∘f)x1=(g∘f)x2。
已知 f 是单射。所以 f(x1)≠f(x2)
设 y1=f(x1)。 y2=f(x2)。 y1≠y2。
那么 g(y1)=g(y2) 这与g 是单射矛盾。
所以g∘f 也是单射。
(2) f、g 是满射时，g∘f 也是满射。
由于 g 是满射，所以对随意的 z∈Z， 存在 y∈Y 使得 g(y)=z
由于 f 是满射，所以存在 x∈X 满足 f(x)=y
所以对于随意的 z∈Z 都存在 x∈X 满足 (g∘f)(x)=z
所以g∘f 是满射
3.3.3
空函数是 f:∅→X。
当X 是随意集合时，空函数都是单射。由于没有 x1∈∅, x2∈∅, x1≠x2 满足f(x1)=f(x2)
当X=∅ 时，空函数是满射，也是双射。
3.3.4
(1) g 是单射，g∘f=g∘f~, 则 f=f~
反证法。若 f≠f~, 则存在 x 使得 f(x)≠f~(x)
设 y=f(x), y~=f~(x)
由于 g 是单射,所以 g(y)≠g(y~)
所以 (g∘f)(x)=(g∘f~)(x) 矛盾.
所以 f=f~
(2) f 是满射, g∘f=g~∘f. 则 g=g~
反证法: 若g≠g~ 则存在 y 满足 g(y)≠g~(y)
由于 f 是满射,所以存在 x∈X 满足 f(x)=y
那么 (g∘f)(x)≠(g~∘f)(x) 矛盾.
所以 g=g~
3.3.5
(1) g∘f 是单射,则 f 是单射.
反证法: 若 f 不是单射,则存在不同样的 x1 和 x2,满足 f(x1)=f(x2)=y
设 z=g(y) 则 (g∘f)(x1)=(g∘f)(x2), 与 g∘f 是单射矛盾.
(2)g∘f 是满射,则 g 是满射.
反证法: 若 g 不是满射, 则存在 z0 没有不论什么 y∈Y 满足 g(y)=z0
而我们又知道g∘f 是满射,则存在 x∈X , 满足 (g∘f)(x)=z0
设 y0=f(x) 那么就有 g(y0)=z0 矛盾.
所以 g 是满射
3.3.6
(1) 由于 f 是双射, 对随意的 x∈X, 都有唯一的y∈Y 满足f(x)=y
由 f−1 的定义可知: f−1(y)=x
所以: (f−1∘f)(x)=f−1(y)=x 对一切 x∈X 成立.
(2) 由于 f 是双射, 对随意的 y∈Y 都有唯一的 x∈X 满足 f−1(y)=x
又有 f(x)=y. 所以 (f∘f−1)(y)=y 对随意 y∈Y都成立.
所以 f−1是可逆的,且逆为 f
3.3.7
先证明 g∘f 是单射. (略)
再证明 g∘f 是满射. (反证法, 略)
3.3.8
(a) 对一切 x∈X 有 τX→Y(x)=x
对一切 x∈X⊆Y 有 τY→Z(x)=x
所以有 一切 x∈X, (τY→Z∘τX→Y)(x)=x=τX→Z(x)
表明: τY→Z∘τX→Y=τX→Z
(b) 对一切 x∈A 有 f∘τA→A(x)=f(x)
所以 f=f∘τA→A
对一切 x∈A 有 τB→B∘f(x)=τB→B(f(x))=f(x)
所以 τB→B∘f=f
所以f=f∘τA→A=τB→B∘f
(c) (易证,略)
(d) 反证法: 假设存在两个不同的函数 h1 和 h2 满足 hi∘τX→X⋃Y=f 和 hi∘τY→X⋃Y=g
那么必定存在一个 a∈X⋃Y 使得h1(a)≠h2(a)
分两种情况讨论:
a∈X 时:
h1∘τX→X⋃Y(a)=h1(a)
h2∘τX→X⋃Y(a)=h2(a)
所以:
h1∘τX→X⋃Y(a)≠h2∘τX→X⋃Y(a) 矛盾.
a∈Y 时:
h1∘τY→X⋃Y(a)=h1(a)
h2∘τY→X⋃Y(a)=h2(a)
h1∘τY→X⋃Y(a)≠h2∘τY→X⋃Y(a) 矛盾
所以 仅仅有唯一的函数 h