零零散散学算法之详解最小生成树

深入解析最小生成树

正文
       所谓最小生成树，就是在一个具有N个顶点的带权连通图G中，如果存在某个子图G'，其包含了图G中的所有顶点和一部分边，且不形成回路，并且子图G'的各边权值之和最小，则称G'为图G的最小生成树。
       由定义我们可得知最小生成树的三个性质：
             •最小生成树不能有回路。
             •最小生成树可能是一个，也可能是多个。
             •最小生成树边的个数等于顶点的个数减一。

       本文将介绍两种最小生成树的算法，分别为克鲁斯卡尔算法(Kruskal Algorithm)和普利姆算法(Prim Algorithm)。

第一节 克鲁斯卡尔算法(Kruskal Algorithm)

       克鲁斯卡尔算法的核心思想是：在带权连通图中，不断地在边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到最后得到一颗最小生成树。

       克鲁斯卡尔算法的执行步骤：
       第一步：在带权连通图中，将边的权值排序；
       第二步：判断是否需要选择这条边（此时图中的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通，那么就选择使其连通。
       第三步：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。

下面我用图示法来演示克鲁斯卡尔算法的工作流程，如下图：

首先，将图中所有的边排序（从小到大），我们将以此结果来选择。排序后各边按权值从小到大依次是：

HG < (CI=GF) < (AB=CF) < GI < (CD=HI) < (AH=BC) < DE < BH < DF

接下来，我们先选择HG边，将这两个点加入到已找到点的集合。这样图就变成了，如图

继续，这次选择边CI（当有两条边权值相等时，可随意选一条），此时需做判断。

判断法则：当将边CI加入到已找到边的集合中时，是否会形成回路？
      1.如果没有形成回路，那么直接将其连通。此时，对于边的集合又要做一次判断：这两个点是否在已找到点的集合中出现过？
          ①.如果两个点都没有出现过，那么将这两个点都加入已找到点的集合中；
          ②.如果其中一个点在集合中出现过，那么将另一个没有出现过的点加入到集合中；
          ③.如果这两个点都出现过，则不用加入到集合中。
      2.如果形成回路，不符合要求，直接进行下一次操作。

根据判断法则，不会形成回路，将点C和点I连通，并将点C和点I加入到集合中。如图：

继续，这次选择边GF，根据判断法则，不会形成回路，将点G和点F连通，并将点F加入到集合中。如图：

继续，这次选择边AB，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，并将点A和点B加入到集合中。如图：

继续，这次选择边CF，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，此时这两个点已经在集合中了，所以不用加入。如图：

继续，这次选择边GI，根据判断法则，会形成回路，如下图，直接进行下一次操作。

继续，这次选择边CD，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，并将点D加入到集合中。如图：

继续，这次选择边HI，根据判断法则，会形成回路，直接进行下一次操作。
继续，这次选择边AH，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，此时这两个点已经在集合中了，所以不用加入。
继续，这次选择边BC，根据判断法则，会形成回路，直接进行下一次操作。
继续，这次选择边DE，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，并将点E加入到集合中。如图：

继续，这次选择边BH，根据法则，会形成回路，进行下一次操作。
最后选择边DF，根据法则，会形成回路，不将其连通，也不用加入到集合中。

好了，所有的边都遍历完成了，所有的顶点都在同一个连通分量中，我们得到了这颗最小生成树。

       通过生成的过程可以看出，能否得到最小生成树的核心问题就是上面所描述的判断法则。那么，我们如何用算法来描述判断法则呢？我认为只需要三个步骤即可：
      ⒈将某次操作选择的边XY的两个顶点X和Y和已找到点的集合作比较，如果
             ①.这两个点都在已找到点的集合中，那么return 2；
             ②.这两个点有一个在已找到点的集合中，那么return 1；
             ③这两个点都不在一找到点的集合中，那么return 0；
      ⒉当返回值为0或1时，可判定不会形成回路；
      ⒊当返回值为2时，判定能形成回路的依据是：假如能形成回路，设能形成回路的点的集合中有A,B,C,D四个点，那么以点A为起始点，绕环路一周后必能回到点A。如果能回到，则形成回路；如果不能，则不能形成回路。

       判定算法很清楚了，我们来写一下克鲁斯卡尔的核心算法，算法代码如下：

/***图的矩阵存储结构***/
typedef struct
{
    VertexType vexs[maxvex];    /***顶点个数***/
    EdgeType arc[maxvex][maxvex];   /***两顶点构成边的权值***/
}Mgraph;

/***比较选择的边的两顶点与已找到点的集合***/
int ComparingPointAndSet(char start, char end, char *StringPoint, int length)
{
    /***start和end为选择的边的两个顶点
        StringPoint表示已找到点的集合
        length表示StringPoint中现存字符的长度
    ***/

    int index = 0;
    int loop = 0;
    for(; index < length; index++)
    {
        if(start == StringPoint[index])
        {
            loop++;
            continue;
        }
        if(end == StringPoint[index])
        {
            loop++;
        }
    }
    return loop;
}

/***判断点是否在集合中出现过***/
int IsCircleOrNot(char start, char end, int loop, char *StringPoint, int length)
{
    if(loop == 0)   //两个点都没有在集合中出现过
    {
        /***分别加入集合***/
        StringPoint[length] = strat;
        StringPoint[length + 1] = end;
    }

    if(loop == 1)   //两点中有一个点在集合中出现过
    {
        /***找出出现过的那个点，并将没有出现过的那个点加入集合***/
        for(int index = 0; index < length; index++)
        {
            if(start == StringPoint[index])
            {
                StringPoint[length] = end;
                break;
            }
            if(end == StringPoint[index])
            {
                StringPoint[length] = start;
                break;
            }
        }
    }

    if(loop == 2)   //两个点在集合中都出现过
    {
        JudgeCircle(gph, StringPoint, StringEdge);  //是否形成环路
    }
    return 0;
}

/***判断是否能形成环路***/
int JudgeCircle(Mgraph *gph, char *StringPoint, char (*StringEdge)[line], int start, int length)
{
    /***StringPoint代表已找到顶点的集合
        StringEdge代表已找到边的集合
        start代表判断是否形成回路时的起始点
        length代表StringPoint中现存字符的个数
    ***/
    int index = 0;
    int temp = 0;
    int end = start;

    for(; index < length;index++)
    {
        if(gph->arc[start][index] != 0 && temp != start)
        {
            if(arc[start][index]所代表的边在StringEdge中)
            {
                temp = start;   start = index;
                if(index == end)
                {
                    //说明形成了环路
                    return -1;
                }
                else
                    index = 0;
            }
        }
    }
    return 0;   //没有形成环路
}

OK，克鲁斯卡尔算法介绍完了。

第二节 普利姆算法(Prim Algorithm)

       普利姆算法的核心步骤是：在带权连通图中，从图中某一顶点v开始，此时集合U={v}，重复执行下述操作：在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边，将(u,w)这条边加入到已找到边的集合，并且将点w加入到集合U中，当U=V时，就找到了这颗最小生成树。

       其实，由步骤我们就可以定义查找法则：在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边。

       ok，知道了普利姆算法的核心步骤，下面我就用图示法来演示一下工作流程，如图：

首先，确定起始顶点。我以顶点A作为起始点。根据查找法则，与点A相邻的点有点B和点H，比较AB与AH，我们选择点B，如下图。并将点B加入到U中。

继续下一步，此时集合U中有{A,B}两个点，再分别以这两点为起始点，根据查找法则，找到边BC（当有多条边权值相等时，可选任意一条），如下图。并将点C加入到U中。

继续，此时集合U中有{A,B,C}三个点，根据查找法则，我们找到了符合要求的边CI，如下图。并将点I加入到U中。

继续，此时集合U中有{A,B,C,I}四个点，根绝查找法则，找到符合要求的边CF，如下图。并将点F加入到集合U中。

继续，依照查找法则我们找到边FG,如下图。并将点G加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边GH,如下图。并将点H加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边CD,如下图。并将点D加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边DE,如下图。并将点E加入到U中。

此时，满足U = V，即找到了这颗最小生成树。
附注：prim算法最小生成树的生成过程中，也有可能构成回路，需做判断。判断的方法和克鲁斯卡尔算法一样。
http://blog.csdn.net/fengchaokobe/article/details/7521780
好，过程很清楚了，我们来下一下核心算法，算法代码如下：

/***图的矩阵存储结构***/
typedef struct
{
    VertexType vexs[maxvex];    /***顶点个数***/
    EdgeType arc[maxvex][maxvex];   /***两顶点构成边的权值***/
}Mgraph;

int prim(Mgraph *gph, int vexnum)
/***选择的过程***/
{
    for(i = 0;i < FoundNum; i++) //FoundNum代表已找到顶点数---FoundPoint[vexnum]
    {
        for(j = 0;j < KnownNum; j++) //KnownNum代表除起始点的其他顶点数---KnownNum[vexnum-1]
        {
            if(gph->arc[i][j] < min && i != j)
            {
                min = gph->arc[i][j];
            }
        }
        if(i == FoundNum - 1)
        {
            MinLength += gph->arc[i][j]; MinLength代表最小权值和
            gph->arc[i][j] = INFITY; //找到这条最小边后，将其权值置为maxmun，以后遇到这条边时直接跳过
            FoundPoint[FoundNum] = j;   //将顶点j加入到已找到顶点数的集合中
            FoundNum++；
            i= 0；   //进行下一次操作
            min = INFITY;
        }
        //找到这条边之后判断是否会形成环路，判断函数见克鲁斯卡尔的环路判断函数JudgeCircle()
    }
    return 0;
}

这就是prim算法的实现。两种算法讲完了。

第三节 结束语
       想想，写写，画画......