Description
Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。
上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。 对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。
Input
第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。
Output
第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
Sample Input
2 3 1 5
Sample Output
10.0000
HINT
【样例说明】
对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用
为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。
对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流
量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
【思路】
二分，最大流
如果已知一个最大流网络，Bob就可以将p的费用全部放在最大边上使得总费用最大，因此Alice就要选一个最大边最小的最大流。
先求出最大流maxflow，然后二分最大边，如果依然可以跑出maxflow的最大流量说明可行。
【代码】
1 #include<cmath> 2 #include<queue> 3 #include<vector> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #include<iostream> 7 #include<algorithm> 8 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++) 9 using namespace std; 10 11 const int N = 105; 12 const double INF = 1e9; 13 const double eps = 1e-8; 14 15 struct Edge { 16 int u,v; double cap,flow; 17 }; 18 19 struct Dinic { 20 int n,m,s,t,d[N],cur[N],vis[N]; 21 vector<Edge> es; 22 vector<int> g[N]; 23 queue<int> q; 24 void init(int n) { 25 this->n=n; 26 es.clear(); 27 for(int i=0;i<=n;i++) g[i].clear(); 28 } 29 void clear() { 30 for(int i=0;i<es.size();i++) es[i].flow=0; 31 } 32 void AddEdge(int u,int v,double w) { 33 es.push_back((Edge){u,v,w,0}); 34 es.push_back((Edge){v,u,0,0}); 35 int m=es.size(); 36 g[u].push_back(m-2); g[v].push_back(m-1); 37 } 38 bool bfs() { 39 memset(vis,0,sizeof(vis)); 40 vis[s]=1; d[s]=0; q.push(s); 41 while(!q.empty()) { 42 int u=q.front(); q.pop(); 43 for(int i=0;i<g[u].size();i++) { 44 Edge& e=es[g[u][i]]; 45 int v=e.v; 46 if(e.cap>e.flow && !vis[v]) { 47 vis[v]=1; d[v]=d[u]+1; 48 q.push(v); 49 } 50 } 51 } 52 return vis[t]; 53 } 54 double dfs(int u,double a) { 55 if(u==t || fabs(a)<eps) return a; 56 double flow=0,f; 57 for(int& i=cur[u];i<g[u].size();i++) { 58 Edge& e=es[g[u][i]]; 59 int v=e.v; 60 if(d[v]==d[u]+1 && (f=dfs(v,min(a,e.cap-e.flow)))>0) { 61 flow+=f; a-=f; 62 e.flow+=f; 63 es[g[u][i]^1].flow-=f; 64 if(fabs(a)<eps) break; 65 } 66 } 67 return flow; 68 } 69 double Maxflow(int s,int t) { 70 this->s=s; this->t=t; 71 double flow=0; 72 while(bfs()) { 73 memset(cur,0,sizeof(cur)); 74 flow+=dfs(s,INF); 75 } 76 clear(); 77 return flow; 78 } 79 } dc; 80 81 int n,m,p; double maxflow; 82 83 Edge te[N*N]; 84 bool can(double M) { 85 for(int i=0;i<dc.es.size();i++) 86 te[i]=dc.es[i],dc.es[i].cap=min(dc.es[i].cap,M); 87 double ans=dc.Maxflow(1,n); 88 for(int i=0;i<dc.es.size();i++) 89 dc.es[i]=te[i]; 90 return fabs(ans-maxflow)<eps; 91 } 92 93 int main() { 94 scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); 95 dc.init(n); 96 int u,v; double w,L=0,R; 97 FOR(i,1,m) { 98 scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w); 99 dc.AddEdge(u,v,w); R=max(R,w); 100 } 101 maxflow=dc.Maxflow(1,n); 102 while((R-L)>eps) { 103 double M=(L+R)*0.5; 104 if(can(M)) R=M; else L=M; 105 } 106 printf("%.0f %.4f",maxflow,(double)p*L); 107 return 0; 108 }