qwq(一些有趣的数学题)

这里面珂能会放一下自己觉得有趣(或思维较难)的一些数学题吧(不会太毒瘤)

(窝会在评论里放答案)

PS: 此内所有的几何题均有纯几何方法。

1. 已知(f(x)+f'(x)=sin xcos x)，求(f(x))
   提示：构造函数(h(x)=e^xf(x))

• 拓展：已知(f(x)-f''(x)=sin xcos x)，求(f(x))

2. 已知实数(a>1)，数列({b_n})满足(b_0=a,b_{n}=a^{b_{n-1}})。若数列({b_n})收敛，求(a)的取值范围
   提示：收敛(Leftrightarrow)存在(uin R^+)使得(a^u=u)

3. 对于所有勾股数组((a,b,c))，不妨设(ale ble c)，求(max{dfrac{a}{b}})

4. 一个人站在一个圆形小岛的中心，小岛外边全是水。小岛和水的边缘有一只鳄鱼。已知鳄鱼的速度是人的(4)倍。鳄鱼只能在水上走。鳄鱼每次都是往离人最近点走的。如果人到了小岛边缘，且那个点没有鳄鱼，她就会获救。请问她能否获救？策略是什么？

• 拓展：求在获救条件下，她最少走的距离是多少(假设小岛的半径是(1)km)

5. 已知圆(O)的半径为(2)，定点(A,B)在圆(O)外，且(|OA|=4,|OB|=4sqrt 2,angle AOB=45^circ)。点(P)在圆(O)的圆周上运动，求(min{2sqrt 2PA+PB})(不能用任何计算器或画图软件)。

6. 已知圆(O)内接四边形(ABCD)，且(AB=AD)。连接(AC,BD)。作(CD)边的中点(M)，过点(M)作(MNparallel AC)交(BD)于(N)，连接(AM,AN)。求证：(angle CAN=angle MAD)。

7. 等腰( riangle ABC)中，(AB=AC,angle BAC=20^circ)。在(AB,AC)上取点(D,E)，使得(angle BCD=50^circ,angle CBE=60^circ)，连接(DE)。求(angle ADE)。 (不准用三角函数)

8. 用数学方法证明这题的答案的小数位为.0或.5。

9. ( riangle ABC)中，(angle ABC=30^circ, angle ACB=20^circ)，在( riangle ABC)中存在点(P)，使得(angle PBC=20^circ, angle PCB=10^circ)，求(angle PAB)。

10. 锐角( riangle ABC)中，点(D)在(BC)上，满足(AC=AD)，点(E)在(AC)上，满足(BA=BE)，且满足(AE=ED,EDparallel AB)。求(angle C)。

11. 已知正数a,b,c满足(a^2+b^2+c^2=3)，求(dfrac 1{a^3}+dfrac 1{b^3}+dfrac 1{c^3}+dfrac 1{b^3+c^3}+dfrac 1{a^3+c^3}+dfrac 1{a^3+b^3})的最小值。

12. 已知正整数a,b,c，满足(8^a+15^b=17^c)，求((a,b,c))所有正整数解。