是个神奇的理论啊...
homomorphism（态射）是从一个 monoid（幺半群）到一个 monoid 的线性映射。
幺半群的意思是有幺元，对乘法封闭，乘法满足左右结合律
那么 homomorphism 满足
h id⊕ = id⊗
h (x ⊕ y) = h x ⊗ h y
也就是线性变换应该满足的条件
reduce: 也就是 foldr ，把元素从右往左用运算符计算
reduce [a,b,c,d,e,f] = (a + ( b + ( c + ( d + (e + zero))))
promotion（升格引理）：
h is a homomorphism from (α, ⊕, id⊕) to (β, ⊗, id⊗) if and only if the following holds.
h · ⊕/ = ⊗/ · h∗
也就是说先 reduce 再 map 等价于 先 map 再 reduce
这是两个结论:
f ∗ · ++ / = ++ / · f ∗ ∗
先连接再 map f 等价于把对所有的序列都 map ( map f ) 再连接
⊕/ · ++ / = ⊕/ · (⊕/)∗
先连接再 op 等于先 map op 再用 op 连起来
注意：map 作用完还是 list ，而 op 作用完就是一个 β 了
Identity函数是个态射：
id = ++ / · [·]∗
引理：
h is a homomorphism from the list monoid if and only if there exist f and ⊕ such that
h = ⊕/ · f∗
也就是说序列上的函数是态射当且仅当它能写成这种形式。
这个时候两个幺半群是( List , ++ , [] ) (β , (*) , id (*) )
证明很妙
=> : h= h · id = ...
<= : h · ++/ = ...
使用上文的 promotion 进行推导
其他 homomorphism ：
#: compute the length of a list.
# = +/ · K1∗
K1是把一个元素变成1
reverse = ++˜ / · [·]∗
Here, x⊕˜ y = y ⊕ x
all p = ∧/ · p∗
some p = ∨/ · p∗
All apply to
[]o 叫做all apply to
[f,g,h]o a = [ f a , g a , h a ]
特别的 []o 为这个态射的零元（作用在任意 a 上都得到 [] ）
[_] = [ id ]o
只是给它加了个壳
[[ id ]o]o a =[ [ id ]o a ] = [ [ a ] ]
（加两层
看起来有点蠢，但一会就不了
Conditonal Expressons
h x = if p x then f x else g x
h = (p -> f ,g)
这个挺好理解
h · (p → f, g) = (p → h · f, h · g)
(p → f, g) · h = (p · h → f · h, g · h)
(p → f, f) = f
这是它的规则，也都挺好理解
Filter （◁）
p◁ = ++/ (p -> [id]o , [])*
(p◁) · ++ / = ++ / · (p◁)∗
对于 List 的 List ，连起来在 filter 等价于先 filter 再连起来
(p◁) · f∗ = f ∗ ·(p · f)◁
先 map f 再过滤 等价于先过滤，过滤的时候判断 p f 再 map f
Cross-priduct
叉积
[a, b]X⊕[c, d, e] = [a ⊕ c, b ⊕ c, a ⊕ d, b ⊕ d, a ⊕ e, b ⊕ e]
[] 是叉积的零元
xX⊕ 是一个homomorphism
叉积的 promotion
f ∗ ∗ · X++ / = X++ / · f ∗ ∗∗
(⊕/) ∗ ·X++ / = X⊕/ · (⊕/) ∗ ∗
有点难理解了
首先他的作用对象是 [ [ [a] ] ] ,
即 list 的 list 的 list
X++ 作用在两个 List 的 List 上，把他们各自含有的 list 用 ++ 连接其起来
X++/ 就是对 (List 的 List) 组成的序列 用叉积和++ reduce
太抽象了，来个栗子
X++/ [ [ [ a ] , [ b ] ] , [ [ c , d ] , [ e ] ] ]
= [ [ a , c , d ] , [ a , e ] , [ b , c , d ] , [ b , e ] ]
这么一看就清楚些了
cross-product : takes a list of lists and returns a list of lists of elements, one from each component.
cp [[a, b], [c], [d, e]] = [ [ a , c , d ] , [ b , c , d ] , [ a , c , e ] , [ b , c , e ] ]
cp = X++ / · ([id]o∗)∗
subs [1,2,3] = [ [ ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 1 , 2 ] [ 1 , 3 ] , [ 2 , 3 ] [ 1 , 2, 3 ] ]
subs = X++/·([ []o , [id]o ]o)*
关于层数，可以记为x++/会把三层的降为两层
[id]o加一层，[[id]o]o加两层
++/也是降一层
(all p)◁
(all even )◁ [[1,2,3],[2,3],[2,4]] = [[2,4]]
(all p)◁ = ++/ (X++/ · (p->[[id]o]o,[]o)*)*
怎么理解这个呢：
首先对于每个元素 1 2 3 4 这样的
如果满足条件就 变成 [ [ 2 ] ] 否则就变成 []
然后把这些东西 X++/
这样的话只要有 [] 最终结果就是 []
否则的话就是[ [ [ 2 , 4 ] ] ]
所以还要 reduce
Selection Operation
↑f
associative, commutative and idempotent
满足结合律，交换律，幂等
幂等应该是说 (x ↑f y) ↑fy = x ↑f y
selective ：
x ↑f y = x or x ↑f y = y
也就是操作的结果必是 x y 之一
f(x ↑f y) = (f x) ↑ (f y)
这个操作返回较大的值
哎讲了那么一大圈，这个就是给 x ，y 返回 f 作用后较大的那一个
那么自然 f 应该要是单射（否则可能有不同的x y 对应同一 f x）
非单射的时候可以特殊定义一下返回谁