agda学习笔记证明：关系

agda 学习笔记---证明：关系

运算在 agda 里是函数，而关系是数据类型

import Relation.Binary.PropositionalEquality as Eq
open Eq using (_≡_; refl; cong)
open import Data.Nat using (ℕ; zero; suc; _+_)
open import Data.Nat.Properties using (+-comm; +-identityʳ)

data _≤_ : ℕ → ℕ → Set where
    z≤n : ∀ {n : ℕ}
        → zero ≤ n 
    s≤s : ∀ {n m : ℕ}
        → m ≤ n 
        → suc m ≤ suc n

这个数据类型有两个构造函数：

z<=n :  () -> ( zero <= n )

s<=s : ( m <= n ) -> (suc m < suc n )

无空格的都是名称

_ : 2 ≤ 4
_ = s≤s (s≤s z≤n)

证明了 suc （suc zero）  <= ssss zero

0<=2

->

1<=3

->

2<=4 

反演

证明方式唯一的时候

可以反演：

invs≤s : {n m : ℕ} 
    → suc n ≤ suc m 
    → n ≤ m 
invs≤s (s≤s n≤m) = n≤m 

注意：n<=m 是变量 n <= m 是类型

传递性

≤-trans : ∀ {m n p : ℕ}
    → m ≤ n 
    → n ≤ p 
    → m ≤ p 

≤-trans z≤n n≤p = z≤n
≤-trans (s≤s m≤n) (s≤s n≤p) = s≤s (≤-trans m≤n n≤p)

传递性的证明还是运用了归纳的思想

自反性

≤-antisymmetric : ∀ {n m : ℕ}
    → n ≤ m 
    → m ≤ n 
    → n ≡ m 

≤-antisymmetric z≤n z≤n = refl 
≤-antisymmetric (s≤s x) (s≤s y) = cong suc (≤-antisymmetric x y)