03-1. 二分法求多项式单根(PAT)

 

二分法求函数根的原理为：如果连续函数f(x)在区间[a, b]的两个端点取值异号，即f(a)f(b)<0，则它在这个区间内至少存在1个根r，即f(r)=0。

二分法的步骤为：

• 检查区间长度，如果小于给定阈值，则停止，输出区间中点(a+b)/2；否则
• 如果f(a)f(b)<0，则计算中点的值f((a+b)/2)；
• 如果f((a+b)/2)正好为0，则(a+b)/2就是要求的根；否则
• 如果f((a+b)/2)与f(a)同号，则说明根在区间[(a+b)/2, b]，令a=(a+b)/2，重复循环；
• 如果f((a+b)/2)与f(b)同号，则说明根在区间[a, (a+b)/2]，令b=(a+b)/2，重复循环；

  本题目要求编写程序，计算给定3阶多项式f(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀在给定区间[a, b]内的根。

  输入格式：

  输入在第1行中顺序给出多项式的4个系数a₃、a₂、a₁、a₀，在第2行中顺序给出区间端点a和b。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

  输出格式：

  在一行中输出该多项式在该区间内的根，精确到小数点后2位。

  输入样例：

  3 -1 -3 1
  -0.5 0.5
  

  输出样例：

  0.33

#include <iostream>
#include <string>
#include <iomanip>
using namespace std;

float f( float x);
float a3, a2, a1, a0;

int main()
{
    float a, b;
    cin >> a3 >> a2 >> a1 >> a0;
    cin >> a >> b;
    float left, mid, right;
    left = a;
    right = b;
    while( left <= right - 0.001 && f( left ) * f( right ) <= 0 )
    {
        if ( f( left ) == 0 )
        {
            cout << fixed << setprecision(2) <<  left;
            return 0;
        }
        if ( f( right ) == 0 )
        {
            cout << fixed << setprecision(2) <<  right;
            return 0;
        }
        mid = ( left + right ) / 2;
        if ( f( mid ) * f( left ) > 0 )
        {
            left = mid;
        }
        else
        {
            right = mid;
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(2) <<  mid;
    return 0;
}

float f( float x )
{
    float result;
    result = a3*x*x*x + a2*x*x + a1*x + a0;
    return result;
}