为什么圆的面积 ( S = pi r^2 )? 怎么证？
证法可以有很多，但是那些广为人知的「证法」多多少少都有问题。
小学的证法
切西瓜片？太不严密，不能令人信服：
人家圆弧明明是弯的，你凭什么说人家是直的？无论你分成多少份，那圆弧始终都是弯的，拼起来永远都不可能成为平行四边形。逼近也得讲道理，不然对了也是碰巧对了。
要说逼近都是对的的话，用类似的逻辑，也可以证明 (pi=4):
难道这也是对的？
大学的证法
积分？这就陷入了循环论证：
（上图中有点小错误，懒得改了，反正意思大家都明白）
积分就要换元，换元就要回到导数，导数又要回到极限。要证极限 (lim_limits{x o 0}frac{ sin{x}}{x}=1) 的值为 1, 就要利用不等式 (sin{x}<x< an{x}) ((x) 是锐角) 导出不等式 ( cos{x}<frac{sin{x}}{x}<1 ). 那么问题来了：为什么不等式 (sin{x}<x< an{x}) 在锐角范围内成立？教材说，你画个圆，再画个角，由面积关系可知，该不等式 显~然~ 成立。
问题是，扇形 (OPA) 的面积为什么是 (frac{1}{2}x)? 根据圆完美的对称性可知，圆心角为 x 的扇形，其面积为整个圆的面积的 (frac{x}{2pi}) 倍，……
等等，整个圆的面积是多少来着？我现在在求的不就是这个吗？这不又绕回来了？
避免循环论证
那么现在问题来了：循环论证？为什么会这样？到底怎样才能令人信服地推导出圆的面积公式？
要解决这个问题，先想一想，圆的面积公式到底反映了什么。从表面上看其实无非就两点：
一、圆的面积和半径的平方成正比
二、比例系数是圆周率 (pi)
那么圆周率又是什么？圆周率就是直径为单位长度的圆的周长。注意并不是我们算出了这个长度等于圆周率，而是定义了这个长度等于圆周率。所以说，圆的面积公式换个角度可以说反映的是圆的面积和周长（弧长）与半径的关系，即：
(S=frac{1}{2}CR)
知道了这一点，再来想一想极限 (lim_limits{x o 0}frac{sin{x}}{x}=1) 的几何意义是什么。这可以有两种理解：
一、当角足够小时，三角形的面积趋近于扇形的面积
二、当角足够小时，弦长趋近于弧长
（那个不等式同理，也可以有面积和弧长两种解释）
之所以上面的方法出现了循环论证，就是因为使用了第一种和面积有关的解释，而此时圆的面积是多少还不知道呢。由此看来，使用第二种解释比较合适。
上面两点都说明了弧长的地位（它是最基本的，因为 (pi) 是用弧长直接定义的）。所以不妨从弧长的角度出发重新考虑一下怎么推出极限 (lim_limits{x o 0}frac{sin{x}}{x}=1).
如图，作 (angle POA=x in (0, frac{pi}{2})), 则有 (MA=sin{x}), (overset{frown}{PA}=x), (TA= an{x}). 延长 (AM) 交圆于 (B), 连接 (OB), (BT) 得到一个对称的风筝形。
如果能证明原来那个不等式 (sin{x}<x< an{x}), 即 (MA<overset{frown}{PA}<TA), 就可以推出所求极限。
又因为 (MA<overset{frown}{PA}<TA Leftrightarrow 2MA<2overset{frown}{PA}<2TA ),
所以只需证 (AB<overset{frown}{AB}<TA+TB).
( AB<overset{frown}{AB} ) 这一点非常直观，两点之间线段最短；( overset{frown}{AB}<TA+TB ) 这一点也不难看出，毕竟相对于弦 (AB), 弧 (AB) 和折线 (A-T-B) 都是凸的，而折线又在弧的外面，所以折线比弧要长。如果承认这两点，极限就得证了。极限得证了，算出面积就不是问题了。
可能第二点（折线比弧长）有点牵强，但是承认这一点总比陷入循环论证要好得多。事实上古希腊的阿基米德就是靠这两点严格证出的圆的面积公式：
（引自欧阳顺湘翻译的 Bill Casselman 的论文《阿基米德论圆的周长与面积》，以下贴上该文中对这两个引理的说明）
定义弧长
那要是不承认这两个关于曲线长度的引理呢？
如果不承认的话，那就无法在几何直观上比较曲线的长度（弧长）了。如果长度都不能比较，那么长度又有什么意义呢？
所以，如果不承认的话，就必须定义谁长谁短，换句话说，就必须严格定义曲线的长度。如果使用微积分中的曲线长度定义（折线长度的极限），那么再由此定义弧度后极限 (lim_limits{x o 0}frac{sin{x}}{x}=1) 就不证自明，推出圆的面积公式也就不能成为问题。而且如果这样定义曲线的长度，不需要 (lim_limits{x o 0}frac{sin{x}}{x}=1) 这一结论即可证明圆的面积公式：
根据微积分中对曲线长度的定义，可得出光滑曲线的长度等于下面的定积分：
( int_{a}^{b}sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}mathrm{d}t )
由此可得圆的周长为
( c = 4int_{0}^{r}sqrt{1+(frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}sqrt{r^2-x^2})^2};mathrm{d}x )
( = 4int_{0}^{r}frac{r}{sqrt{r^2-x^2}}mathrm{d}x )
由此可得，圆的周长与半径成正比（符合几何直观），并定义单位圆的周长为 (2pi). 由此得 ( c = 2pi r )
又因为圆的面积为 ( s = 4int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x )
所以要证的圆的面积公式等价于
( 2s = rc )
( Leftrightarrow 2int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=rint_{0}^{r}frac{r}{sqrt{r^2-x^2}};mathrm{d}x )
( Leftrightarrow 2int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=int_{0}^{r}frac{r^2}{sqrt{r^2-x^2}};mathrm{d}x )
( Leftrightarrow 2int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=int_{0}^{r}frac{(r^2-x^2)+x^2}{sqrt{r^2-x^2}};mathrm{d}x )
( Leftrightarrow 2int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=int_{0}^{r}frac{r^2-x^2}{sqrt{r^2-x^2}};mathrm{d}x+int_{0}^{r}frac{x^2}{sqrt{r^2-x^2}};mathrm{d}x )
( Leftrightarrow 2int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x-int_{0}^{r}xcdotfrac{-x}{sqrt{r^2-x^2}};mathrm{d}x )
( Leftrightarrow int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=-int_{0}^{r}xcdot;mathrm{d}(sqrt{r^2-x^2}) )
( Leftrightarrow int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=-left [(xsqrt{r^2-x^2})igg vert _{0}^{r}-int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x ight ] )
( Leftrightarrow int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=-left [0-int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x ight ] )
( Leftrightarrow int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x=int_{0}^{r}sqrt{r^2-x^2};mathrm{d}x )
得证。
不用积分
说来说去都是积分，能不能不用积分？能不能不用繁琐的曲线长度定义？
当然可以。退而求其次，我们可以只定义圆弧的长度，并使这个定义能放到一般曲线长度定义的框架之内。而且上文提到，阿基米德就没用积分（那个时代根本就没有积分这种东西）。但他的方法有点麻烦（见上文提到的那篇论文）。这里结合刘徽的方法，给出一个更简单的证明。虽然没用积分，但也用到了极限的概念和性质。
（图片来自 Wikipedia, 实在懒得画图了）
先定义圆弧长，求出周长。
作出圆的内接正 ( 6cdot 2^n ) 边形。易知该多边形的周长随 (n) 严格单增（图中红色和蓝色的三角形的两腰之和大于底边长）。又因为内接正多边形的周长一定小于任何一个外接正多边形的周长（对折线应用阿基米德引理），所以由单调有界收敛定理知，(n) 趋近于无穷时，内接正多边形的周长必收敛。定义内接正多边形周长的极限为圆的周长。由此得圆的周长和半径成正比。定义半径为 (frac{1}{2}) 的圆的周长为 (pi).
再证圆内接正多边形的面积收敛于圆的面积，然后利用已求出的周长和极限的惟一性求出圆的面积。
设半径为 (r) 的圆的面积为 (S), 内接正 ( 6cdot 2^n ) 边形的边长为 (L_n), 面积为 (S_n). 由定义知 (lim_limits{n oinfty}L_n=2pi r). 设 (Delta_n = S_n - S). 作出该圆的内接正 ( 6cdot 2^n ) 边形和内接正 ( 6cdot 2^{n+1} ) 边形。考察 (Delta_{n+1} ) 和 ( Delta_n ) 的关系。不妨设图中绿色部分为圆内接正 ( 6cdot 2^n ) 边形。观察图中长方形 (ABCD) 可知
( 6 cdot 2^n cdot S_{ABCD} > Delta_n )
( 6 cdot 2^n cdot frac{1}{2}S_{ABCD} > frac{1}{2}Delta_n )
( S_{n+1}-S_n > frac{1}{2}Delta_n )
( Delta_n - Delta_{n+1} > frac{1}{2}Delta_n )
( Delta_{n+1} < frac{1}{2}Delta_n )
由此得
( Delta_{m+p} < frac{1}{2^p}Delta_m )
( Delta_{n+1} < frac{1}{2^{n}}Delta_1 )
( Delta_n < frac{1}{2^{n-1}}Delta_1 ;; (n geqslant 2) )
因为 ( frac{1}{2^{n-1}}Delta_1 ) 当 (n) 足够大时可以任意小，所以 ( Delta_n ) 可以任意小，所以 ( lim_limits{n oinfty}S_n = S ).
又因为 ( S_n=frac{1}{2}hcdot L_n = frac{1}{2}r(cos{frac{180^{circ}}{2^n}})cdot L_n )
所以 ( lim_limits{n->infty}S_n = frac{1}{2}rcdot 2pi r = pi r^2 )
又由极限的惟一性知 ( S = pi r^2 ).
证毕。
结论
圆的面积公式反映的是圆的面积与周长的关系，因此圆上的弧长不能是模糊不清的概念。
满足以下两个条件之一，便可严格证明圆的面积公式：
一、承认几何直观上比较弧长和直线与折线长度的两个结论
二、严格定义弧长
最后扯淡
第一次发现教材里有这个循环论证并得到确认后我还是很震惊的。数学教材怎么会出这么大一个漏洞？虽然涉及几何直观的地方，因为几何本身就不严谨，所以有一点不严格也无伤大雅，但是这么一个大问题在那里，教材一句话也不说就默认没问题了，总有种蒙混过关的感觉。好歹加个注说明一下。
后来我一直在想，出现这种问题的根本原因是什么。我觉得主要有以下两点：
一、这群编书的人根本就不重视几何
二、基础定理的证明都是抄来抄去，没有人考虑其他的证明方法
其实 (lim_limits{x o 0}frac{sin{x}}{x}=1) 这个式子说了一件什么事？无非就是「弦长趋近于弧长」。但是很多人不是这样想的。他们去用定义推导正弦函数的导函数，然后发现需要求这个极限，就去（用代数的方法）求了，完全没有去考虑这个极限的几何意义是什么。结果推导的时候发现代数上需要那个不等式，不得不又回到几何，再然后就出了循环论证这档子事。不仅如此，他们从一开始求导的时候就把几何给放到一边去了。讲真，从几何的观点来看，( frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x} sin x = cos x ) 和 ( frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x} cos x = - sin x ) 简直不能再显然了：
如图，假设有一质点在单位圆上以 1 rad/s 做匀速圆周运动，座标（位置矢量）是 ( (cos t, sin t) ), 那么显然，它的速度就是 ( (cos (t+90^{circ}), sin (t+90^{circ})) = (-sin t, cos t) ), 把 (x) 轴和 (y) 轴的分运动拿出来就得到了正弦和余弦的导数。
所以说几何的东西就应该从几何的角度来思考，傻傻地去硬算就容易走入歧途。