特征向量和特征值
概念
对于一个线性变换，若一个向量经过这个线性变换后，只是拉伸或者压缩，并没有离开该向量张成的空间，则称这个向量为该线性变换的特征向量，其中特征向量拉伸或者压缩的比例称为特征值。有些线性变换不存在特征向量，如旋转。
考虑一个线性变换 (A)，设 (v) 为它的某个特征向量，特征值为 (lambda)，得 (Av=lambda v)。这里等式左边为矩阵乘法，右边为向量数乘，将右边也转化为矩阵乘法的形式，变形后得 ((A-lambda I)v=0)，其中 (I) 为单位矩阵，也就是恒等变换。首先有 (v) 为零向量时，该等式成立。当 (v) 不是零向量时，因为有一个非零向量经过线性变换后变为了一个零向量，因此该线性变换一定降维，进一步得 ( ext{det}(A-Ilambda)=0)，解该方程即可得特征值。
应用
[large A=egin{bmatrix}
frac{1}{n} & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 \
frac{1}{n} & frac{1}{n-1} & 0 & 0 & cdots & 0 \
frac{1}{n} & frac{1}{n-1} & frac{1}{n-2} & 0 & cdots & 0 \
frac{1}{n} & frac{1}{n-1} & frac{1}{n-2} & frac{1}{n-3} & cdots & 0 \
vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
frac{1}{n} & frac{1}{n-1} & frac{1}{n-2} & frac{1}{n-3} & cdots & 1
end{bmatrix}
]
快速计算 (A^k)。
设 (E) 为该矩阵的特征向量组成的矩阵，即其第 (i) 列为第 (i) 个特征向量，(D) 为对角矩阵，对角线上的第 (i) 个元素为第 (i) 个特征值，得：
[largeegin{aligned}
AE&=ED\
A&=EDE^{-1}\
A^k&=left(EDE^{-1}
ight)^k\
A^k&=ED^kE^{-1}\
end{aligned}
]
这称为矩阵的对角化，当一个 (n) 阶矩阵有 (n) 个线性无关的特征向量时，可以使用对角化。那么得出 (A) 的特征向量和特征值后就能快速计算 (A^k) 了。对于 (A) 有：
[large ext{det}(A-Ilambda)=(1-lambda)(frac{1}{2}-lambda)dots(frac{1}{n}-lambda)=0
]
得 (A) 有 (n) 个特征向量，第 (i) 个特征向量的特征值为 (frac{1}{i})。设 (v_{i,j}) 表示该矩阵的第 (i) 个特征向量的倒数第 (j) 个元素，得：
[large v_{i,j}=(-1)^{i+j}inom{i-1}{j-1}
]
考虑证明，代入 (Av=lambda v) 得：
[largeegin{aligned}
frac{(-1)^{i+j}}{i}inom{i-1}{j-1}=&sum_{k=j}^ifrac{1}{k}(-1)^{i+k}inom{i-1}{k-1}\
=&frac{1}{i}sum_{k=j}^i(-1)^{i+k}inom{i}{k}\
=&frac{1}{i}sum_{k=0}^{i-j}(-1)^{k}inom{i}{k}\
=&frac{1}{i}sum_{k=0}^{i-j}inom{k-i-1}{k}\
=&frac{1}{i}inom{-j}{i-j}\
=&frac{(-1)^{i+j}}{i}inom{i-1}{j-1}
end{aligned}
]
通过卷积就能 (O(nlog n)) 计算 (A^k) 了。