一、最近公共祖先(Least Common Ancestors)
对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。
这里给出一个LCA的例子：
例一
对于T=
V={1,2,3,4,5}
E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}
则有：
LCA(T,5,2)=1
LCA(T,3,4)=3
LCA(T,4,5)=3
二、RMQ问题(Range Minimum Query)
RMQ问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小值下标。这时一个RMQ问题的例子：
例二
对数列：5,8,1,3,6,4,9,5,7 有：
RMQ(2,4)=3
RMQ(6,9)=6
RMQ问题与LCA问题的关系紧密，可以相互转换，相应的求解算法也有异曲同工之妙。
下面给出LCA问题向RMQ问题的转化方法。
对树进行深度优先遍历，每当“进入”或回溯到某个结点时，将这个结点的深度存入数组E最后一位。同时记录结点i在数组中第一次出现的位置(事实上就是进入结点i时记录的位置)，记做R[i]。如果结点E[i]的深度记做D[i]，易见，这时求LCA(T,u,v)，就等价于求 E[RMQ(D,R[u],R[v])]，(R[u]
数列E[i]为：1,2,1,3,4,3,5,3,1
R[i]为：1,2,4,5,7
D[i]为：0,1,0,1,2,1,2,1,0
于是有：
LCA(T,5,2) = E[RMQ(D,R[2],R[5])] = E[RMQ(D,2,7)] = E[3] = 1
LCA(T,3,4) = E[RMQ(D,R[3],R[4])] = E[RMQ(D,4,5)] = E[4] = 3
LCA(T,4,5) = E[RMQ(D,R[4],R[5])] = E[RMQ(D,5,7)] = E[6] = 3
易知，转化后得到的数列长度为树的结点数的两倍加一，所以转化后的RMQ问题与LCA问题的规模同次
三、ST算法实现(以最大值为例）：
首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5
和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）.
接下来是得出最值，也许你想不到计算出f[i，j]有什么用处，一般毛想想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了 O（1）。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由 f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[L，R]分成两个长度为2^n的区间（保证有f[i，j]对应）。直接给出表达式：
k :=[ ln(R-L+1) / ln(2)];
ans := max(F[L，k], F[R - 2^k+1, k]);
这样就计算了从i开始，长度为2^t次的区间和从r-2^i+1开始长度为2^t的区间的最大值（表达式比较烦琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑.
四、试题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2104
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2763
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3264
ZOJ 1141