费马平方和定理
费马平方和定理的表述是：奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1.
1. 如果两个整数都能表示为两个平方数之和的形式，则他们的积也能表示为两个平方数之和的形式。
$$egin{aligned}left(a^{2}+b^{2} ight)left(c^{2}+d^{2} ight) &=a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2} \ &=left(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}-2 a b c d ight)+left(a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+2 a b c d ight) \ &=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2} end{aligned}$$
2. 如果一个能表示为两个平方数之和的整数，能被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则他们的商也能表示为两个平方数之和。
即 $frac{a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}=left(frac{q p+b q}{p^{2}+q^{2}} ight)^{2}+left(frac{a q-b p}{p^{2}+q^{2}} ight)^{2}$
3.如果 $a$ 和 $b$ 互质，则 $a^2+b^2$ 的所有因子都能表示成两个平方数之和
4. 任何形如 $4n+1$ 的素数都能表示为两个平方数之和的形式
婆罗摩笈多－斐波那契恒等式
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式：
$$egin{aligned}left(a^{2}+b^{2} ight)left(c^{2}+d^{2} ight) &=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2} \ &=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2} end{aligned}$$
这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，
欧拉四平方和定理
欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为：
$$egin{aligned}left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2} ight)left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2} ight) &=\left(a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}-a_{3} b_{3}-a_{4} b_{4} ight)^{2}+& \left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}+a_{3} b_{4}-a_{4} b_{3} ight)^{2}+& \left(a_{1} b_{3}-a_{2} b_{4}+a_{3} b_{1}+a_{4} b_{2} ight)^{2} &+\left(a_{1} b_{4}+a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}+a_{4} b_{1} ight)^{2} end{aligned}$$
拉格朗日四平方和定理
四平方和定理：每个正整数均可表示成4个整数的平方和。
注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。
等价的说法是：每个正整数均可表示成不超过四个整数的平方之和。
重要推论：
1. 数 $n$ 只能表示成四个整数的平方和，不能表示成更少个数的平方和，必定满足 $4^a(8b+7)$.
2. 如果 n%4==0，k=n/4，n 和 k 可由相同个数的整数表示
如何利用推论求一个正整数最少需要多少个数的平方和表示：
1. 先判断这个数是否满足 $4^a(8b+7)$，如果满足，那么这个数就至少需要 4 个数的平方和表示。
2. 如果不满足，再在上面除以 4 之后的结果上暴力尝试只需要 1 个数就能表示和只需要 2 个数就能表示的情况。
3. 如果还不满足，那么就只需要 3 个数就能表示。
参考链接：
1. https://zh.wikipedia.org/wiki/费马平方和定理
2. https://zh.wikipedia.org/wiki/婆罗摩笈多－斐波那契恒等式
3. https://zh.wikipedia.org/wiki/欧拉四平方和恒等式
4. https://blog.csdn.net/qq_41746268/article/details/98513714