AtCoder Grand Contest 032 B

题意

B - Balanced Neighbors

给定一个整数 $N$（$3leq N leq 100$），构造一个顶点编号为 $1...N$ 的无向图，需满足如下两个条件：

• 简单图且连通
• 存在一个整数 $S$，使得对于每个顶点，与其相连的顶点的编号和都为 $S$

可以证明至少有一个满足上述条件的图，请输出这样的图。

分析

手动尝试一下 $n=3,4,5$，可以找到一个构造方法。

考虑完全 $k$ 分图（类比完全二分图）,并保证这 $k$ 部分的和都相等。

如果 $n$ 为偶数，那么我们可以两联配对，即 ${1,n },  {2,n-1 },..., { n/2, n/2+1}$.

如果 $n$ 为奇数，那么我们把 $n$ 单独拿出来作为一组，剩余的 $n-1$ 个两两配对。

这样构造的图在 $n geq 3$ 时连通性易证。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int a[55][2];

void solve()
{
    if(n&1) n = n-1;         //奇数化成偶数
    for(int i = 1;i <= n/2;i++)
    {
        a[i][0] = i;
        a[i][1] = n+1-i;
    }
    for(int i = 1;i <= n/2;i++)
        for(int j = 0;j < 2;j++)
            for(int k = i+1;k <= n/2;k++)
                for(int t = 0;t < 2;t++)
                    printf("%d %d
", a[i][j], a[k][t]);
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int m = 2 * (n/2) * (n/2 - 1);
    if(n & 1)
    {
        printf("%d
", m + n - 1);
        for(int i = 1;i < n;i++)  printf("%d %d
", n, i);
        solve();
    }
    else
    {
        printf("%d
", m);
        solve();
    }
    return 0;
}

参考链接：https://oi-wiki.org/basic/construction/