该定理由J·拉姆贝克(Lambek)与L·莫斯尔(Leo Moser)提出
我们将满足
\((i)\){\(a_n\)}\(\cup\){\(b_n\)}\(= N^+\)
\((ii)\){\(a_n\)}\(\cap\){\(b_n\)}\(= \varnothing\)
的两数列{\(a_n\)}和{\(b_n\)}称为互补数列
对于互补数列，有如下的：
Lambek—Moser定理 设\(f(n)\)是一个\(N^+\to N^+\)的不减函数.定义\(f^*(n)=\)|{\(k|f(k)<n\)}|,其中|\(Z\)|表示集合\(Z\)中元素的个数.记\(F(N^+)\)和\(G(N^+)\)分别为函数\(F(n)=f(n)+n\)和\(G(n)=f^*(n)+n\)的值域.则\(F(N^+)\)与\(G(N^+)\)是互补的.
证明:
(现在还不会... 以后再填坑）
例\(1\):
求证：在正整数序列中，删去所有完全平方数后，第\(n\)项等于\(n+[\sqrt{n}+\frac{1}{2}]\).其中\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数.(第\(27\)届普特南数学竞赛）
（我不清楚标准答案是什么，但我自己瞎搞搞出来一个...）
证明：
令\(F(n)=n+[\sqrt{n}+\frac{1}{2}]\)
\(G(n)=n^2=n+n(n-1)\)
则根据原命题，知:
\(F(n)\)的值域\(F(N^+)\)与\(G(n)\)的值域\(G(N^+)\)互补.
考虑构造函数:
\(f(n)=[\sqrt{n}+\frac{1}{2}]\)
\(g(n)=n(n-1)\)
由Lambek-Moser定理,
原命题等价于求证:
\(g(n)=n(n-1)=\)|{\(k|f(k)<n\)}|
考虑\(\max k\)使得\(f(k)<n\)
则\([\sqrt{k}+\frac{1}{2}]<n\)
\(\sqrt{k}<n-\frac{1}{2}\)
\(k<n^2-n+\frac{1}{4}\)
由\(k \in N^+\)
得\(k\leq n^2-n\)
所以|{\(k|f(k)<n\)}|=\(n(n-1)\)
证毕.
例\(2\):
删去正整数数列\(1,2,3,···\)中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第\(2003\)项是（ ）
(A) \(2046\) (B) \(2047\) (C) \(2048\) (D) \(2049\)
（\(2003\)，全国高中数学联赛）
解：
\((I)\) 直接运用例\(1\)证明出的公式 令\(n=2003\),便得到
\(2003+[\sqrt{2003}+\frac{1}{2}]=2048\)
\((II)\) 直接暴力，由\(45^2=2025\),\(46^2=2116\),得
第\(1981\)项为\(2026\),第\(2069\)项为\(2115\)
所以第\(2003\)项为\(2048\)
（第一篇博客，就写写数学吧...）