堆排序是非常快的一种排序方法。其时间复杂度为O(nlogn)，和快速排序不相上下。
什么是堆
我们在介绍堆排序之前，当然需要知道什么是堆。堆是一种数据结构，相当于二叉树一样。但是它是使用数组存放的。存放的方法是：从左到右，从上到下地将节点依此放入数组中：
- 任何一个节点的数值一定比两个子节点都大
有这个性质的堆称为最大堆，如果反过来：
- 任何一个节点的数值一定比其子节点都小
那么就是最小堆。
最大堆最后排序出来的元素是升序的。最小堆对应降序排列。
堆还有一个隐含的性质：
- 每一个堆都是完全二叉树
这个性质很容易被发现：由于我们从数组生成二叉树时总是自左向右，自上而下的，所以最后的结果一定是最下层的最右边空缺，所以一定会生成完全二叉树。
堆的拓展性质：
接下来通过性质我们还可以推导出一些十分有用的拓展性质，我们需要使用这些性质来进行堆排序：
- 对于有n个元素的堆来说，其二叉树高度为floor(logn)。（其中floor为向下取整）
这个性质的证明还是比较简单的。可以看出层数h和当前层的节点数n的关系是n=2^(h-1)。这样使用求和公式，最后考虑最下一层不全部排满的情况就可以推导出这个公式了。
- 对于一个有n个元素的堆来说，第floor(n/2)+1个元素为第一个叶子节点，floor(n/2)+2为第二个叶子结点...依此类推。
- 对于第n个父节点来说，其左节点是第2*n个节点，右节点是第2*n+1个节点
维护堆的性质
对于一个数据结构，我们需要做到在插入，删除元素的时候不改变数据结构的性质。这里我们以最大堆为例来说明如何维护堆的性质：
最大堆的性质是：
任何一个父节点都比两个子节点的数值要大。
我们需要在更改堆的时候让堆不违反这个性质。我们这里使用一个函数来维护堆的性质。这个函数将在每次打乱堆的时候使堆自动变成符合性质的结构：
1 LEFT(n) 2 return n*2 3 4 RIGHT(n) 5 return n*2+1 6 7 MAX_HEAP(heap,i) 8 left=LEFT(i) 9 right=RIGHT(i) 10 if(left<=length && heap[left]>heap[I]) 11 max=left 12 Else 13 max=I 14 If(right<=length && heap[right]>heap[max]) 15 max =right 16 if(max!=i) 17 Exchange heap[I] and heap[max] 18 MAX_HEAP(heap,max)
首先根据拓展性质3，LEFT()和RIGHT()函数用于获得节点n的左右节点的下标。
接下来MAX_HEAP用于维护堆的性质：
第8，9行获得节点i的左右子节点。
第10，14行比较这个节点和其子节点的大小，并且将三者中最大的节点下标记录在max中。
第16行判断最大的节点是不是原本的父节点i。如果是的话就停止维护堆的性质。否则再次递归调用MAX_HEAP()函数向下维护堆的性质。
对于递归，我们知道总是有一个基础步骤和一个递归步骤：
基础步骤：对于节点i，找出i，i的子节点中最大的节点下标，放入max中。
递归步骤：如果max!=i，则交换heap[max]和heap[i]的值，并且调用MAX_HEAP(heap,max)
这就是MAX_HEAP函数的递归描述。
具体的C++代码如下：
堆的类结构：
template <typename T> class Heap{ public: Heap():heap(nullptr),len(0){} Heap(T* arr,int l); vector<T> GetSortedVector(); void OutPut(); ~Heap(); private: T GetLeft(int i); T GetRight(int i); void Max_Heap(int i); void Max_Heap_for_Sort(T* arr,int i,int length); void CreateHeap(); T* heap; int len; };
维护堆性质的代码：
template <typename T> T Heap<T>::GetLeft(int i){ return heap[i<<1]; } template <typename T> T Heap<T>::GetRight(int i){ if((i<<1)+1 > len) return INT_MIN; return heap[(i<<1)+1]; } template <typename T> void Heap<T>::Max_Heap(int i){ int max; T l=GetLeft(i),r=GetRight(i); if((i<<1)<=len && l>heap[i]) max=i<<1; else max=i; if((i<<1)+1<=len && r>heap[max]) max=(i<<1)+1; if(max!=i){ int temp=heap[max]; heap[max]=heap[i]; heap[i]=temp; Max_Heap(max); } }
构建堆
由于是排序算法，所以首先一定会给出一些数，这些数常常放在数组中，像是这样：
我们就将这个数组当作一个二叉树，那么根据上面说的规则，采用自左向右，自上而下的方式构建二叉树：
现在这个还只是二叉树。要将这棵树变成堆，需要满足堆的性质。这样的话维护堆性质的函数就派上用场了。我们自底向上的对，每个父节点使用MAX_HEAP函数来将二叉树变成堆（也就是说最下一层不使用）：
CEATE_HEAP(heap) For i=floor(length/2) downto 1 MAX_HEAP(heap,i)
其中第二行的for循环用于从下到上的使用MAX_HEAP函数。这里floor(lengtth/2)的条件是根据拓展性质3得出的。
对应的C++代码如下：
template <typename T> void Heap<T>::CreateHeap(){ for(int i=floor(len/2);i>=1;i--) Max_Heap(i); }
对于上面的树，变成堆堆过程如下：
其中蓝色是for循环里MAX_HEAP()执行到的节点。橙色的是MAX_HEAP()递归递归到的节点。
可能会有些人说，为什么要自底向上创建，我自顶向下创建不行吗？下面我们来看看自顶向下的创建过程（只需要将for循环里改成i=1 to floor(length/2)即可）
可以看出最后的结果并不正确。
堆排序
终于到了我们最后这一章的核心，堆排序了。其实前面说的都是如何创建堆这个数据结构。接下来通过这个数据结构来进行排序。
堆排序的思想如下：
根据最大堆的性质（你要是使用的最小堆就看最小堆的性质），父节点总是比子节点大。这样的话堆的根节点一定是整个堆里面最大的节点。我们可以把这个节点和最右下角的节点互换：
为什么要和最右下角的节点互换呢？不要忘记这颗树是通过数组存储的哦。我们把最大元素和最右下角的元素互换，其实就是将最大元素和数组最后一个元素互换哦：
这个时候右下角的节点就已经不属于堆了。
但是这样做的话又破坏了堆的性质（这里7小于8了），所以我们需要再次维护堆的性质，对根节点调用MAX_HEAP即可：
由于原本最大的节点已经放到数组的最后一位了，现在堆里面的节点全部都小于数组最右边的节点。通过维护堆的性质再将堆中最大节点放到根节点处。这个时候根节点是整个排序数组中第二大节点。然后将根节点放到倒数第二个节点处就完成了一次排序。
然后重复地将根节点和右下方的节点互换，再对根节点使用MAX_HEAP。直到堆里面没有节点了，排序就完成了。
伪代码如下：
HEAPSORT(heap) For i=length downto 2 Exchange heap[i] and heap[1] Length-- MAX_HEAP(heap,1)
C++代码如下：
template <typename T> void Heap<T>::Max_Heap_for_Sort(T* arr,int i,int length){ int max,r,l; l=i<<1; r=(i<<1)+1; if(l<=length && arr[l]>arr[i]) max=l; else max=i; if(r<=length && arr[r]>arr[max]) max=r; if(max!=i){ int temp=arr[i]; arr[i]=arr[max]; arr[max]=temp; //length--; Max_Heap_for_Sort(arr, max, length); } for(int i=1;i<=len;i++) cout<<arr[i]<<","; cout<<endl; }
最后数组就被排序成功了。
下面是C++的全部实现代码：
#ifndef Heap_hpp #define Heap_hpp #include <iostream> #include <cmath> #include <vector> using namespace std; template <typename T> class Heap{ public: Heap():heap(nullptr),len(0){} Heap(T* arr,int l); vector<T> GetSortedVector(); void OutPut(); ~Heap(); private: T GetLeft(int i); T GetRight(int i); T GetParent(int i); void Max_Heap(int i); void Max_Heap_for_Sort(T* arr,int i,int length); void CreateHeap(); T* heap; int len; }; template <typename T> Heap<T>::Heap(T* arr,int l):len(l){ heap=new T[l+1]; for(int i=0;i<l;i++) heap[i+1]=arr[i]; CreateHeap(); } template <typename T> T Heap<T>::GetLeft(int i){ return heap[i<<1]; } template <typename T> T Heap<T>::GetRight(int i){ if((i<<1)+1 > len) return INT_MIN; return heap[(i<<1)+1]; } template <typename T> T Heap<T>::GetParent(int i){ return heap[i>>1]; } template <typename T> void Heap<T>::Max_Heap(int i){ int max; T l=GetLeft(i),r=GetRight(i); if((i<<1)<=len && l>heap[i]) max=i<<1; else max=i; if((i<<1)+1<=len && r>heap[max]) max=(i<<1)+1; if(max!=i){ int temp=heap[max]; heap[max]=heap[i]; heap[i]=temp; Max_Heap(max); } } template <typename T> void Heap<T>::Max_Heap_for_Sort(T* arr,int i,int length){ int max,r,l; l=i<<1; r=(i<<1)+1; if(l<=length && arr[l]>arr[i]) max=l; else max=i; if(r<=length && arr[r]>arr[max]) max=r; if(max!=i){ int temp=arr[i]; arr[i]=arr[max]; arr[max]=temp; //length--; Max_Heap_for_Sort(arr, max, length); } for(int i=1;i<=len;i++) cout<<arr[i]<<","; cout<<endl; } template <typename T> vector<T> Heap<T>::GetSortedVector(){ vector<T> v; T temp[len+1]; int length=len; for(int i=0;i<=len;i++) temp[i]=heap[i]; for(int i=len;i>=2;i--){ v.push_back(temp[1]); temp[1]=temp[i]; Max_Heap_for_Sort(temp, 1, --length); } return v; } template <typename T> void Heap<T>::OutPut(){ for(int i=1;i<=len;i++) cout<<heap[i]<<","; cout<<endl; } template <typename T> Heap<T>::~Heap(){ if(heap!=nullptr) delete[] heap; } #endif