次短路
(一)
- 从(u)(父节点)到(v)(子节点)次短路直接更新(通常在最短路已经确定的情况下才进行直接更新次短路)
- 从(u)(父节点)到(v)(子节点)最短路不更新，但是距离比次短路距离小，更新次短路
- 从(u)(父节点)到(v)(子节点)最短路更新，原来的最短路就成了次短路
数组(dis1)存放的是到各点的最短路，(dis2)存放的是到各点的次短路
[dis_2[v]=egin{cases} dis_2[u]+w \ dis_1[u]+w dis_1[u]+w<dis_1[v]\ dis_1[v] dis_1[v]>dis_1[u]+w end{cases}](二)换边法
- 1到n的次短路长度必然产生于：从(1)走到(x)的最短路 + (edge[x][y]) + (y)到(n)的最短路(与次小生成树有些相似)
1.首先预处理好1到每一个节点的最短路，和n到每一个节点的最短路
2.然后枚举每一条边作为中间边(（x，y）)或者(（y，x）)，如果加起来长度等于最短路长度则跳过，否则更新。
从(1)走到(x)的最短路 + (edge[x][y]) + (y)到(n)的最短路,只比(dist[n])大，比其他的都小的那个值。
Roadblocks
Spfa
- 一直更新记录,找出的是各点的最短路和次短路
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int dis[5500];
int dis2[5500];
int vis[5500];
int head[200100],cnt;
struct node
{
int v,w;
int nxt;
} edge[200100];
void add(int x,int y,int w)
{
edge[++cnt].nxt=head[x];
edge[cnt].v=y;
edge[cnt].w=w;
head[x]=cnt;
}
void Dijkstra(int x)
{
queue<int>qu;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,INF,sizeof(dis));
memset(dis2,INF,sizeof(dis2));
dis[x]=0;
vis[x]=1;
qu.push(x);
while(!qu.empty( ))
{
int u=qu.front( );
qu.pop( );
vis[u]=0;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
int w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w)//最短路更新，原来的最短路变成次短路
{
dis2[v]=dis[v];
dis[v]=dis[u]+w;
if(!vis[v])
{
qu.push(v);
vis[v]=1;
}
}
if(dis2[v]>dis2[u]+w)//次短路直接更新(通常是最短路确定后才进行）
{
dis2[v]=dis2[u]+w;
if(!vis[v])
{
qu.push(v);
vis[v]=1;
}
}
if(dis2[v]>dis[u]+w&&dis[v]<dis[u]+w)//最短路不更新，但距离比次短路小
{
dis2[v]=dis[u]+w;
if(!vis[v])
{
qu.push(v);
vis[v]=1;
}
}
}
}
}
int main( )
{
int n,r,x,y,w;
memset(head,-1,sizeof(head));
cnt=0;
scanf("%d%d",&n,&r);
for(int i=1; i<=r; i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
add(x,y,w);
add(y,x,w);
}
Dijkstra(1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",dis[i]);
}
cout<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",dis2[i]);
}
return 0;
}
利用dijkstra求出(1)到各点的最小距离，(n)到各点的距离，然后枚举每条边，找出第二小的值
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int M=200010;
int head[M],cnt;
struct node
{
int v,w,nxt;
}edge[M];
int dis1[5050];
int disn[5050];
int vis[5050];
void add(int x,int y,int w)
{
edge[++cnt].nxt=head[x];
edge[cnt].v=y;
edge[cnt].w=w;
head[x]=cnt;
}
void Dijkstra(int x,int dis[ ])
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >qu;
dis[x]=0;
qu.push(make_pair(0,x));
while(!qu.empty( ))
{
int u=qu.top( ).second;
qu.pop( );
if(!vis[u])
{
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(dis[v]>dis[u]+edge[i].w)
{
dis[v]=dis[u]+edge[i].w;
qu.push(make_pair(dis[v],v));
}
}
}
}
}
int main( )
{
int n,r;
scanf("%d%d",&n,&r);
memset(head,-1,sizeof(head));
cnt=0;
int x,y,w;
for(int i=1;i<=r;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
add(x,y,w);
add(y,x,w);
}
memset(dis1,INF,sizeof(dis1));
memset(disn,INF,sizeof(disn));
Dijkstra(1,dis1);
Dijkstra(n,disn);
// for(int i=1;i<=n;i++)
// {
// cout<<dis1[i]<<" ";
// }
// cout<<endl;
// for(int i=1;i<=n;i++)
// {
// cout<<disn[i]<<" ";
// }
// cout<<endl;
int ans=dis1[n];
int temp=INF;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=head[i];j!=-1;j=edge[j].nxt)
{
int v=edge[j].v;
int w=dis1[i]+edge[j].w+disn[v];
if(w==ans)
{
continue;
}
else
{
temp=min(temp,w);
}
}
}
cout<<temp<<endl;
return 0;
}
一边更新最短路，一边更新次短路
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int M=200000+10;
int head[M],cnt;
struct node
{
int v,w,nxt;
}edge[M];
int dis1[5005];
int dis2[5005];
void add(int x,int y,int w)
{
edge[++cnt].nxt=head[x];
edge[cnt].v=y;
edge[cnt].w=w;
head[x]=cnt;
}
void Dijkstra(int x)
{
memset(dis1,INF,sizeof(dis1));
memset(dis2,INF,sizeof(dis2));
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >qu;
dis1[x]=0;//最短路初始值为0，次短路无穷大
qu.push(make_pair(0,x));
while(!qu.empty( ))
{
int w=qu.top( ).first;//弹出最小值，或许是最短路，或许是次短路
int u=qu.top( ).second;
qu.pop( );
if(dis2[u]<w)//弹出来的值比当前的次短路大，就可以跳过这个
{
continue;
}
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
int cost=w+edge[i].w;//u到v的花费
if(dis1[v]>cost)//花费大于原来的最小值，更新最短路
{
swap(dis1[v],cost);//交换值
qu.push(make_pair(dis1[v],v));//压入队列
}
if(dis2[v]>cost&&cost>dis1[v])//交换次短路
{
swap(dis2[v],cost);
qu.push(make_pair(dis2[v],v));//压入队列，之所以次短路要压入队列是因为后面更新需要。
//例子：dis[2] = 10, dis2[2] = 20 有一条边 2 到 6 的边权值为 5
//如果不把 dis2 入队，那么之后的算法中 dis[6] = 15, dis2[6] = INF
//只有当队列里有 20 这个值，才能 20+5 得出 25，然后更新 dis2[6] = 25
}
}
}
}
int main( )
{
int n,r;
scanf("%d%d",&n,&r);
memset(head,-1,sizeof(head));
cnt=0;
int x,y,w;
for(int i=1;i<=r;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
add(x,y,w);
add(y,x,w);
}
Dijkstra(1);
printf("%d
",dis2[n]);
return 0;
}