对于任意正实数 (a,b) ，有
[sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b}
]
当且仅当 (a=b) 时，等号成立.
1、(sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2})
如图，点 (D) 在半圆 (O) 上，点 (C) 在直径 (AB) 上，且 (ODperp AB) ，设 (AC=a,BC=b) .
证明：因为 (AC=a,BC=b)，则
[OD=dfrac{a+b}{2};;,;;OC=dfrac{a-b}{2};;,;;CD=sqrt{OF^2+OC^2}=sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}
]
由 (CDgeqslant OD) 得
[sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2}
]
当且仅当 (a=b) 时，等号成立，得证。
2、(dfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab})
如图，点 (E) 在半圆 (O) 上，点 (C) 在直径 (AB) 上，且 (ECperp AB) ，设 (AC=a,BC=b) .
证明：因为 (AC=a,BC=b)，且 ( riangle ACEacksim riangle ECB) 则
[OE=dfrac{a+b}{2};;,;;CE=sqrt{ACcdot BC}=sqrt{ab}
]
由 (OEgeqslant CE) 得
[dfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab}
]
当且仅当 (a=b) 时，等号成立，得证。
3、(sqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b})
如图，点 (E) 在半圆 (O) 上，点 (C) 在直径 (AB) 上，且 (ECperp AB) ，(CFperp OE) 设 (AC=a,BC=b) .
证明：由 ( riangle OCEacksim riangle CFE) 得 (dfrac{CE}{OE}=dfrac{EF}{CE}) ，则
[EF=dfrac{CE^2}{OE}=dfrac{ab}{dfrac{a+b}{2}}=dfrac{2ab}{a+b}=dfrac{2}{dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}}
]
由 (CEgeqslant EF) 得
[sqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b}
]
当且仅当 (a=b) 时，等号成立，得证。
4、把它们画在同一个图有
由 (CDgeqslant OD=OEgeqslant CEgeqslant EF) 得
[sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}geqslantdfrac{a+b}{2}geqslantsqrt{ab}geqslantdfrac{2}{dfrac1a+dfrac1b}
]
当且仅当 (a=b) 时，等号成立.