BST（Binary Search Tree），二叉搜索树，又叫二叉排序树
是一棵空树或具有以下几种性质的树:
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若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
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若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
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左、右子树也分别为二叉排序树
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没有权值相等的结点。
看到第4条，我们会有一个疑问，在数据中遇到多个相等的数该怎么办呢，显然我们可以多加一个计数器，就是当前这个值出现了几遍。
那么我们的每一个节点都包含以下几个信息:
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当前节点的权值，也就是序列里的数
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左孩子的下标和右孩子的下标，如果没有则为0
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计数器，代表当前的值出现了几遍
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子树大小和自己的大小的和
至于为什么要有4.我们放到后面讲。
节点是这样的:
struct node{
int val,ls,rs,cnt,siz;
}tree[500010];其中val是权值，ls/rs是左/右 孩子的下标，cnt是当前的权值出现了几次，siz是子树大小和自己的大小的和。
以下均以递归方式呈现。
插入:
x是当前节点的下标，v是要插入的值。
void add(int x,int v)
{
tree[x].siz++;
//如果查到这个节点，说明这个节点的子树里面肯定是有v的，所以siz++
if(tree[x].val==v){
//如果恰好有重复的数，就把cnt++，退出即可，因为我们要满足第四条性质
tree[x].cnt++;
return ;
}
if(tree[x].val>v){//如果v<tree[x].val，说明v实在x的左子树里
if(tree[x].ls!=0)
add(tree[x].ls,v);//如果x有左子树，就去x的左子树
else{//如果不是，v就是x的左子树的权值
cont++;//cont是目前BST一共有几个节点
tree[cont].val=v;
tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
tree[x].ls=cont;
}
}
else{//右子树同理
if(tree[x].rs!=0)
add(tree[x].rs,v);
else{
cont++;
tree[cont].val=v;
tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
tree[x].rs=cont;
}
}
}找前驱:
x是当前的节点的下标，val是要找前驱的值，ans是目前找到的比val小的数的最大值。
int queryfr(int x, int val, int ans) {
if (tree[x].val>=val)
{//如果当前值大于val，就说明查的数大了，所以要往左子树找
if (tree[x].ls==0)//如果没有左子树就直接返回找到的ans
return ans;
else//如果不是的话，去查左子树
return queryfr(tree[x].ls,val,ans);
}
else
{//如果当前值小于val，就说明我们找比val小的了
if (tree[x].rs==0)//如果没有右孩子，就返回tree[x].val，因为走到这一步时，我们后找到的一定比先找到的大(参考第二条性质)
return (tree[x].val<val) ? tree[x].val : ans
//如果有右孩子，，我们还要找这个节点的右子树，因为万一右子树有比当前节点还大并且小于要找的val的话，ans需要更新
if (tree[x].cnt!=0)//如果当前节数的个数不为0，ans就可以更新为tree[x].val
return queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val);
else//反之ans不需要更新
return queryfr(tree[x].rs,val,ans);
}
}找后继
与找前驱同理，只不过反过来了，在这里我就不多赘述了。
int queryne(int x, int val, int ans) {
if (tree[x].val<=val)
{
if (tree[x].rs==0)
return ans;
else
return queryne(tree[x].rs,val,ans);
}
else
{
if (tree[x].ls==0)
return (tree[x].val>val)? tree[x].val : ans;
if (tree[x].cnt!=0)
return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val);
else
return queryne(tree[x].ls,val,ans);
}
}按值找排名:
这里我们就要用到siz了，排名就是比这个值要小的数的个数再+1，所以我们按值找排名，就可以看做找比这个值小的数的个数，最后加上1即可。
int queryval(int x,int val)
{
if(x==0) return 0;//没有排名
if(val==tree[x].val) return tree[tree[x].ls].siz+1;
//如果当前节点值=val，则我们加上现在比val小的数的个数，也就是它左子树的大小
if(val<tree[x].val) return queryval(tree[x].ls,val);
//如果当前节点值比val大了，我们就去它的左子树找val，因为左子树的节点值一定是小的
return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt;
//如果当前节点值比val小了，我们就去它的右子树找val，同时加上左子树的大小和这个节点的值出现次数
//因为这个节点的值小于val，这个节点的左子树的各个节点的值一定也小于val
}
//注:这里最终返回的是排名-1，也就是比val小的数的个数，在输出的时候记得+1按排名找值:
因为性质1和性质2，我们发现排名为n的数在BST上是第n靠左的数。或者说排名为n的数的节点在BST中，它的左子树的siz与它的各个祖先的左子树的siz相加恰好=n (这里相加是要减去重复部分)。
所以问题又转化成上一段 或者说 的后面的部分
rk是要找的排名
int queryrk(int x,int rk)
{
if(x==0) return INF;
if(tree[tree[x].ls].siz>=rk)//如果左子树大小>=rk了，就说明答案在左子树里
return queryrk(tree[x].ls,rk);//查左子树
if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk)//如果左子树大小加上当前的数的多少恰好>=k，说明我们找到答案了
return tree[x].val;//直接返回权值
return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt);
//否则就查右子树，同时减去当前节点的次数与左子树的大小
}同时还要注意一点，此题的排名是要再+1的，样例的正确输出应该是3 3 1 5
然后是完整版代码
Code:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF=0x7fffffff; int cont; struct t{ int val,ls,rs,cnt,siz; }tree[500010]; int n,opt,xx; void add(int x,int v) { tree[x].siz++; if(tree[x].val==v){ tree[x].cnt++; return ; } if(tree[x].val>v){ if(tree[x].ls!=0) add(tree[x].ls,v); else{ cont++; tree[cont].val=v; tree[cont].siz++; tree[cont].cnt++; tree[x].ls=cont; } } else{ if(tree[x].rs!=0) add(tree[x].rs,v); else{ cont++; tree[cont].val=v; tree[cont].siz++; tree[cont].cnt++; tree[x].rs=cont; } } } int queryfr(int x, int val, int ans) { if (tree[x].val>=val) { if (tree[x].ls==0) return ans; else return queryfr(tree[x].ls,val,ans); } else { if (tree[x].rs==0) return tree[x].val; else return queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val); } } int queryne(int x, int val, int ans) { if (tree[x].val<=val) { if (tree[x].rs==0) return ans; else return queryne(tree[x].rs,val,ans); } else { if (tree[x].ls==0) return tree[x].val; else return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val); } } int queryrk(int x,int rk) { if(tree[tree[x].ls].siz>=rk) return queryrk(tree[x].ls,rk); if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk) return tree[x].val; return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt); } int queryval(int x,int val) { if(x==0) return 0; if(val==tree[x].val) return tree[tree[x].ls].siz+1; if(val<tree[x].val) return queryval(tree[x].ls,val); return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt; } int main() { cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>opt>>xx; if(opt==1) printf("%d ",queryval(1,xx)+1); else if(opt==2) { if(xx>tree[1].siz) printf("%d ",INF); else printf("%d ",queryrk(1,xx)); } else if(opt==3) printf("%d ",queryfr(1,xx,-INF)); else if(opt==4) printf("%d ",queryne(1,xx,INF)); else{ if(cont==0){ cont++; tree[cont].cnt=tree[cont].siz=1; tree[cont].val=xx; } else add(1,xx); } } return 0; }