AGC005 题解

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题目评分：1054-1828-1976-2943-3276-3440

A STring

水题，直接用个栈，不断处理一下即可。

B Minimum Sum

经典题，数据结构各显神通，肯定得枚举一个位置算贡献。

Solution

算法一

我没有脑子，这题直接线段树一下，做一遍二分，二分出每一个位置所能成为答案的最大左右区间，乘法原理计数即可。

时间复杂度 (O(nlog^2n))。

算法二

我学习过单调栈，这题不是单调栈裸题吗。

记录每个数踢出去的数的个数，那么当前数的向前的最多可延展的区间也可以出来，类似的，向后的最多可延展的区间个数也可以出来。

时间复杂度 (O(n))。

C Tree Restoring

Solution

智商题，没有智商的 cnyz 被区分了。

考虑 (a_i) 的最大值是如何来的，显然是一条直径，那么，(min a_ige max a_i)。

容易想到，如果 (max a_i) 是奇数，那么最小点得有两个，同理，(max a_i) 为偶数时，最小点得有一个，同时，(a_i) 除了最大值和最小值，之间的至少有 (2) 个。

那么这些都判一下就行了，时间复杂度 (O(n))。

D ~K Perm Counting

Solution

正着求很不好求，考虑容斥。

显然可以将原本的不能选的关系抽象成一个二分图，那就是会变成若干条链，且相邻的边不能取，将链拍平到序列上考虑 DP。

设 (f_{i,j,0/1}) 表示现在在第 (i) 位选了 (j) 条边，且当前这条边选了或没选，有转移：

[f_{i,j,0}=f_{i-1,j,0}+f_{i-1,j,1}\f_{i,j,1}=f_{i-1,j-1,0} ]

直接暴力 dp，可以做到 (O(n^2)) 的时间复杂度，注意判当前是不是链头。

好像用多项式可以优化到 (O(nlog n))？不过我不会。

E Sugigma: The Showdown

Solution

博弈好题。

考虑什么时候会陷入无限循环，称一条树 (a) 上的边 ((u,v)) 是横跳边，当且仅当 ( ext{dist}_b(u,v)ge 3)，这是不需要证明的。

容易发现，我们可以处理出所有可达的点，容易使用 dfs 解决，只需要比较某个点到两个起始点的距离。

如果在可达的点组成的连通块中出现了横跳边，那么可以无限循环，否则的话，A 想让轮数最多，那只能到一个距离出发点最远的点来等死，容易发现轮数是最大的。

时间复杂度 (O(n))。

F Many Easy Problems

Solution

考虑枚举每个点算贡献，容易发现：

[f(i)=sum^n_{u=1}inom{n}{i}-sum_{vin son(u)}inom{siz_v}{i} ]

其中 (son(u)) 表示与 (u) 相连的节点集合，(siz_u) 表示子树大小。

可以看做是枚举每一个点，用所有答案减去不包含的答案。

化柿子：

[f(i)=ninom{n}{i}-sum^n_{u=1}sum_{vin son(u)}inom{siz_v}{i} ]

接着化简后面这一坨：

[sum^n_{u=1}sum_{vin son(u)}inom{siz_v}{i}\sum^n_{j=i}cnt_jinom{j}{i} ]

其中 (cnt_i) 表示 (siz=i) 的子树出现了几次。

拆掉组合数：

[frac 1 {i!}sum^n_{j=i}frac{cnt_j(j!)}{(j-i)!}\frac 1 {i!}sum^{n-i}_{j=0}frac{cnt_{j+i}(j+i)!}{j!} ]

后面的柿子是一个卷积形式，令 (F_i=cnt_ii!)，(G_i=frac {1}{i!})，那么：

[frac 1 {i!}sum^{n-i}_{j=0}F_R(n-i-j)G_j ]

使用 FFT 优化，时间复杂度 (O(nlog n))。

顺带说一句，(924844033) 的原根为 (5)。