逻辑回归是一个分类器，其基本思想可以概括为：对于一个二分类（0~1）问题，若P(Y=1/X)>0.5则归为1类，若P(Y=1/X)<0.5，则归为0类。
一、模型概述
1、Sigmoid函数
为了具象化前文的基本思想，这里介绍Sigmoid函数：
函数图像如下：
红色的线条，即x=0处将Sigmoid曲线分成了两部分：当 x < 0，y < 0.5 ；
当x > 0时，y > 0.5 。
实际分类问题中，往往根据多个预测变量来对响应变量进行分类。因此Sigmoid函数要与一个多元线性函数进行复合，才能应用于逻辑回归。
2、逻辑斯谛模型
其中θx=θ1x1+θ2x2+……+θnxn 是一个多元线性模型。
上式可转化为：
公式左侧称为发生比(odd)。当p(X)接近于0时，发生比就趋近于0；当p(X)接近于1时，发生比就趋近于∞。
两边取对数有：
公式左侧称为对数发生比(log-odd)或分对数(logit)，上式就变成了一个线性模型。
不过相对于最小二乘拟合，极大似然法有更好的统计性质。逻辑回归一般用极大似然法来拟合，拟合过程这里略过，下面只介绍如何用R应用逻辑回归算法。
二、逻辑回归应用
1、数据集
应用ISLR包里的Smarket数据集。先来看一下数据集的结构：
> summary(Smarket)
Year Lag1 Lag2
Min. :2001 Min. :-4.922000 Min. :-4.922000
1st Qu.:2002 1st Qu.:-0.639500 1st Qu.:-0.639500
Median :2003 Median : 0.039000 Median : 0.039000
Mean :2003 Mean : 0.003834 Mean : 0.003919
3rd Qu.:2004 3rd Qu.: 0.596750 3rd Qu.: 0.596750
Max. :2005 Max. : 5.733000 Max. : 5.733000
Lag3 Lag4 Lag5
Min. :-4.922000 Min. :-4.922000 Min. :-4.92200
1st Qu.:-0.640000 1st Qu.:-0.640000 1st Qu.:-0.64000
Median : 0.038500 Median : 0.038500 Median : 0.03850
Mean : 0.001716 Mean : 0.001636 Mean : 0.00561
3rd Qu.: 0.596750 3rd Qu.: 0.596750 3rd Qu.: 0.59700
Max. : 5.733000 Max. : 5.733000 Max. : 5.73300
Volume Today Direction
Min. :0.3561 Min. :-4.922000 Down:602
1st Qu.:1.2574 1st Qu.:-0.639500 Up :648
Median :1.4229 Median : 0.038500
Mean :1.4783 Mean : 0.003138
3rd Qu.:1.6417 3rd Qu.: 0.596750
Max. :3.1525 Max. : 5.733000
Smarket是2001年到2005年间1250天的股票投资回报率数据，Year是年份，Lag1~Lag5分别指过去5个交易日的投资回报率，Today是今日投资回报率，Direction是市场走势，或Up（涨）或Down（跌）。
先看一下各变量的相关系数：
library(corrplot) corrplot(corr = cor(Smarket[,-9]),order = "AOE",type = "upper",tl.pos = "d") corrplot(corr = cor(Smarket[,-9]),add=TRUE,type = "lower",method = "number",order = "AOE",diag = FALSE,tl.pos = "n",cl.pos = "n")
可见除了Volume和Year之间相关系数比较大，说明交易量基本随年份在增长，其他变量间基本没多大的相关性。说明股票的历史数据与未来的数据相关性很小，利用监督式学习方法很难准确预测未来股市的情况，这也是符合常识的。不过作为算法的应用教程，我们还是试一下。
2、训练并测试逻辑回归模型
逻辑回归模型是广义线性回归模型的一种，因此函数是glm()，但必须加上参数family=binomial。
> attach(Smarket)
> # 2005年前的数据用作训练集，2005年的数据用作测试集
> train = Year<2005
> # 对训练集构建逻辑斯谛模型
> glm.fit=glm(Direction~Lag1+Lag2+Lag3+Lag4+Lag5+Volume,
+ data=Smarket,family=binomial, subset=train)
> # 对训练好的模型在测试集中进行预测，type="response"表示只返回概率值
> glm.probs=predict(glm.fit,newdata=Smarket[!train,],type="response")
> # 根据概率值进行涨跌分类
> glm.pred=ifelse(glm.probs >0.5,"Up","Down")
> # 2005年实际的涨跌状况
> Direction.2005=Smarket$Direction[!train]
> # 预测值和实际值作对比
> table(glm.pred,Direction.2005)
Direction.2005
glm.pred Down Up
Down 77 97
Up 34 44
> # 求预测的准确率
> mean(glm.pred==Direction.2005)
[1] 0.4801587
预测准确率只有0.48，还不如瞎猜。下面尝试着调整模型。
#检查一下模型概况
> summary(glm.fit)
Call:
glm(formula = Direction ~ Lag1 + Lag2 + Lag3 + Lag4 + Lag5 +
Volume, family = binomial, data = Smarket, subset = train)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.302 -1.190 1.079 1.160 1.350
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.191213 0.333690 0.573 0.567
Lag1 -0.054178 0.051785 -1.046 0.295
Lag2 -0.045805 0.051797 -0.884 0.377
Lag3 0.007200 0.051644 0.139 0.889
Lag4 0.006441 0.051706 0.125 0.901
Lag5 -0.004223 0.051138 -0.083 0.934
Volume -0.116257 0.239618 -0.485 0.628
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 1383.3 on 997 degrees of freedom
Residual deviance: 1381.1 on 991 degrees of freedom
AIC: 1395.1
Number of Fisher Scoring iterations: 3
可以发现所有变量的p值都比较大，都不显著。前面线性回归章节中提到AIC越小，模型越优，这里的AIC还是比较大的。
加入与响应变量无关的预测变量会造成测试错误率的增大（因为这样的预测变量会增大模型方差，但不会相应地降低模型偏差），所以去除这样的预测变量可能会优化模型。
上面模型中Lag1和Lag2的p值明显比其他变量要小，因此只选这两个变量再次进行训练。
> glm.fit=glm(Direction~Lag1+Lag2,
+ data=Smarket,family=binomial, subset=train)
> glm.probs=predict(glm.fit,newdata=Smarket[!train,],type="response")
> glm.pred=ifelse(glm.probs >0.5,"Up","Down")
> table(glm.pred,Direction.2005)
Direction.2005
glm.pred Down Up
Down 35 35
Up 76 106
> mean(glm.pred==Direction.2005)
[1] 0.5595238
> 106/(76+106)
[1] 0.5824176
这次模型的总体准确率达到了56%，总算说明统计模型的预测准确度比瞎猜要好（虽然只有一点点）。根据混淆矩阵，当逻辑回归模型预测下跌时，有50%的准确率；当逻辑回归模型预测上涨时，有58%的准确率。（矩阵的行名表预测值，列名表实际值）
应用这个模型来预测2组新的数据：
> predict(glm.fit,newdata = data.frame(Lag1=c(1.2,1.5),Lag2=c(1.1,-0.8)),type="response")
1 2
0.4791462 0.4960939
可见对于(Lag1,Lag2)=(1.2,1.1)和(1.5,-0.8)这两点来说，模型预测的都是股票会跌。需要注意的是，逻辑回归的预测结果并不能像线性回归一样提供置信区间（或预测区间），因此加上interval参数也没用。
参考文献
[1]R语言数据分析系列之九 - 逻辑回归
[2] Gareth James et al. An Introduction to Statistical Learning.