威佐夫博弈

处理何种问题：有两堆各若干的物品，两人轮流从中取至少一件物品，至多不限，或从两堆中取相同件物品，规定最后取完者胜利。

性能：博弈题，有规律，O（1）的时间复杂度。

原理：

先说结论：若两堆物品的初始值为 (x,y) ，且x<y，则另z=y-x；

记w= ；

若w=x，则先手必败，否则先手必胜。

推论如下：这种情况下是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)（表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。注：k表示奇异局势的序号， 第一个奇异局势k=0。

可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。

奇异局势有如下性质：

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于a[k]是未在前面出现过的最小自然数，所以有a[k] > a[k-1] ，而 b[k]= a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1] 。所以性质1成立。

2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势（a[k]，b[k]）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（a[k]，b[k]）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = a[k] ，b > b[k] 那么，取走b - b[k]个物体，即变为奇异局势；如果 a = a[k] ， b < b[k] 则同时从两堆中拿走a-a[b-a]（注：这里b-a是a的下标， 不是a*(b-a)） 个物体变为奇异局势（ a[b-a], b-a+a[b-a]）；如果a > a[k] ，b= a[k] + k 则从第一堆中拿走多余的数量a - a[k] 即可；如果a < a[k] ，b= a[k] + k,分两种情况，第一种，a=a[j] （j < k）从第二堆里面拿走 b - b[j] 即可；第二种，a=b[j] （j < k）从第二堆里面拿走 b - a[j] 即可。（额…）

 

实现步骤：略

备注：该博弈本人只知道结论，对于证明不是很清楚（百度百科上粘的）。

 

输入样例解释：

2 1  //两堆石子的个数

8 4

4 7

 

输出样例解释：

First Lose //先手必败

First Win //先手必胜

First Lose

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int x,y,z,w;
    while(~scanf("%d%d",&x,&y))
    {
        if(x>y)
            swap(x,y);
        z=y-x;
        w=((sqrt(5.0)+1)/2.0)*z;//别加其他的一些多余步骤
        if(w==x)
            printf("First Lose
");
        else
            printf("First Win
");
    }
    return 0;
}