【uva 1151】Buy or Build（图论--最小生成树+二进制枚举状态）

题意：平面上有N个点(1≤N≤1000)，若要新建边，费用是2点的欧几里德距离的平方。另外还有Q个套餐，每个套餐里的点互相联通，总费用为Ci。问让所有N个点连通的最小费用。（2组数据的输出之间要求有换行）

解法：利用二进制枚举套餐，时间复杂度是O(2^QN²+N²logN)。关于时间复杂度，枚举：二进制枚举为2^Q，Kruskal为ElogE≈E≈N²；边排序：ElogE≈E≈N²。总的相加。

紫书上提到一个优化：不加任何套餐跑一遍MST（最小生成树），没有选的边便删除掉，因为以后加了套餐之后也选不到它。

理解有点困难：由于Kruskal算法中不会进入MST的边是那些两端属于同一个连通分量的边，那么套餐里的点互相连通，相当于在原先MST的图上另外加了几条权值为0的边。这时可能超过N-1条边出现环，那么我们就要割掉权值最大的这个环里的边，留下较小的边。这样的MST就是除了套餐必要的费用之外的权值和最小的了。

P.S.如果比赛时想不明白，那就只能对拍了！

P.P.S.但我不知道为什么优化无论加不加时间都差不多，明明优化使时间复杂度变为了O(2^QN+N²logN)，2^Q≈10³，N=10³，logN≈10，理应由O(10⁶)变为O(10³)啊。

下面附上我的加了优化的代码——

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010,M=(int)1e6+10,Q=10,X=3010,D=(int)2e6+10;
typedef long long LL;

int n,q,m;
int fa[N];
struct hp{int c,t;int s[N];}b[Q];
struct vert{int x,y;}a[N];
struct edge{int x,y,d;}e[M];

LL mmin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}
int sq_dist(int i,int j) {return (a[i].x-a[j].x)*(a[i].x-a[j].x)+(a[i].y-a[j].y)*(a[i].y-a[j].y);}
void ins(int id,int x,int y,int d) {e[id].x=x,e[id].y=y,e[id].d=d;}
bool cmp(edge x,edge y) {return x.d<y.d;}
int ffind(int x)
{
    if (fa[x]!=x) fa[x]=ffind(fa[x]);
    return fa[x];
}
LL MST()
{
    int i,t=0;
    int cnt=0;//0
    LL ans=0;
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    for (i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for (i=1;i<=m;i++)
    {
      int x=e[i].x,y=e[i].y;
      int xx=ffind(x),yy=ffind(y);
      if (xx!=yy)
      {
        fa[xx]=yy;
        cnt++,ans+=e[i].d;
        e[++t]=e[i];
        if (cnt==n-1) break;
      }
    }
    m=t;
    return ans;
}
LL MST_2(int cnt)
{
    int i;
    LL ans=0;
    for (i=1;i<=m;i++)
    {
      int x=e[i].x,y=e[i].y;
      int xx=ffind(x),yy=ffind(y);
      if (xx!=yy)
      {
        fa[xx]=yy;
        cnt++,ans+=e[i].d;
        if (cnt==n-1) break;
      }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T,i,j,k;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
      scanf("%d%d",&n,&q);
      for (i=1;i<=q;i++)
      {
        scanf("%d%d",&b[i].t,&b[i].c);
        for (j=1;j<=b[i].t;j++)
          scanf("%d",&b[i].s[j]);
      }
      for (i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
      m=0;
      for (i=1;i<=n;i++)
       for (j=i+1;j<=n;j++)
         ins(++m,i,j,sq_dist(i,j));
     
      LL ans=MST();
      for (i=0;i<(1<<q);i++)//bracelet
      {
       for (j=1;j<=n;j++) fa[j]=j;
       int cnt=0,h=0;
       for (j=1;j<=q;j++)
        if (i&(1<<(j-1)))
        {
         h+=b[j].c;
         for (k=2;k<=b[j].t;k++)
         {
           int x=b[j].s[1],y=b[j].s[k];
           int xx=ffind(x),yy=ffind(y);
           if (xx!=yy) fa[xx]=yy,cnt++;
         }
        }
       ans=mmin(ans,h+MST_2(cnt));
      }
      printf("%lld
",ans);
      if (T) printf("
");
    }
    return 0;
}