反演
[f_n=sumlimits_{i=0}^{n}(-1)^idbinom{n}{i}g_i iff g_n=sumlimits_{i=0}^{n}(-1)^idbinom{n}{i}f_i
]
常用形式一：
[f_n=sumlimits_{i=0}^{n}dbinom{n}{i}g_i iff g_n=sumlimits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}dbinom{n}{i}f_i
]
常用形式二：
[f_n=sumlimits_{i=n}^{m}dbinom{i}{n}g_i iff g_n=sumlimits_{i=n}^{m}(-1)^{i-n}dbinom{i}{n}f_i
]
证明
把第一个形式中的右侧(g_n)代入左侧的式子
[f_n=sumlimits_{i=0}^{n}(-1)^idbinom{n}{i}sumlimits_{j=0}^{i}(-1)^jdbinom{i}{j}f_j
]
[=sumlimits_{j=0}^{n}f_jsumlimits_{i=j}^{n}(-1)^{i+j}dbinom{n}{i}dbinom{i}{j}
]
[=sumlimits_{j=0}^{n}f_jsumlimits_{i=j}^{n}(-1)^{i+j}dbinom{n}{j}dbinom{n-j}{n-i}
]
组合数的变化可以理解为原本是从(n)个中选(i)个，再从(i)个中选(j)个 变为 先从(n)个中选(j)个，再从剩下的里面选(n-i)个
[=sumlimits_{j=0}^{n}f_jdbinom{n}{j}(-1)^jsumlimits_{i=j}^{n}(-1)^idbinom{n-j}{n-i}
]
[=sumlimits_{j=0}^{n}f_jdbinom{n}{j}(-1)^jsumlimits_{i=0}^{n-j}(-1)^{n-i}dbinom{n-j}{i}
]
可以发现后面是二项式定理的形式
[=sumlimits_{j=0}^{n}f_jdbinom{n}{j}(-1)^j(1-1)^{n-j}
]
[=f_n
]
两个常用形式证明大同小异
例题
题目大意：(a_i)与(b_i)一一配对，使得(a_i>b_i)的数量恰好为(frac{n+k}{2})的方案数
设(pos_i=sumlimits_{i=1}^{n}[a_i>b_i])
设(f[i][j])为前(i)个(a)，选了(j)组(a>b)的方案数
得到(dp)方程：(f[i][j]=f[i-1][j]+(pos[i]-j+1)*f[i-1][j-1])
设(g_i=f[n][i]*(n-i)!)，(f_i)为恰好有(i)对(a>b)的方案数
根据我个人理解，(g_i)并不是至少有(i)对(a>b)的方案数，而是选出(i)对(a>b)的方案之后，其他数据随意排列的方案数，显然第二种解释的方案数应该多于第一种，因为会有大量重复情况
那么有
[g_k=sumlimits_{i=k}^{n}dbinom{i}{k}f_i
]
根据二项式反演得到
[f_k=sumlimits_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}dbinom{i}{k}g_i
]