给定一个(n)次多项式(F(x))和一个(m)次多项式(G(x)),请求出多项式(R(x),R(x)),满足:
(Q(x))次数为(n-m),(R(x))次数小于(m)
(F(x)=Q(x)*G(x)+R(x))
前置芝士:多项式乘法逆
假设对于任意多项式(A(x)),有(A_R(x)=x^nA(frac{1}{x}))
展开一下可以发现,(A_R(x))就是将(A(x))各项系数翻转
大力化式子
[F(x)=Q(x)*G(x)+R(x)
]
代入(x=frac{1}{x})
[F(frac{1}{x})=Q(frac{1}{x})*G(frac{1}{x})+R(frac{1}{x})
]
两边日上一个(x^n),右边稍微分布一下
[x^n*F(frac{1}{x})=x^{n-m}*Q(frac{1}{x})*x^{m}*G(frac{1}{x})+x^{n-m+1}*x^{m-1}*R(frac{1}{x})
]
用刚才那个逆向操作
[F_R(x)=Q_R(x)*G_R(x)+x^{n-m+1}*R_R(x)
]
先考虑求(Q),由于(Q)最高次是(n-m),我们模上一个(x^{n-m+1})
[F_R(x)equiv Q_R(x)*G_R(x)+x^{n-m+1}*R_R(x) (mod x^{n-m+1})
]
发现右边有个(x^{n-m+1}*R_R(frac{1}{x})),可以被模掉
[F_R(x)equiv Q_R(x)*G_R(x) (mod x^{n-m+1})
]
[Q_R(x)equiv F_R(x)*G_R^{-1}(x) (mod x^{n-m+1})
]
我们求一个(G_R)的乘法逆,就可以求出(Q_R)了
最初的式子
[F(x)=Q(x)*G(x)+R(x)
]
变形
[R(x)=F(x)-Q(x)*G(x)
]
完成,注意多项式加减法直接在系数上进行……
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
inline int read()
{
int x=0;char ch,f=1;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return f?x:-x;
}
const int N=5e5+10,p=998244353,G=3,gi=332748118;
int n,m;
int f[N],g[N],grn[N],c[N];
int gr[N],fr[N],q[N];
int pos[N];
inline int fast(int x,int k)
{
int ret=1;
while(k)
{
if(k&1) ret=ret*x%p;
x=x*x%p;
k>>=1;
}
return ret;
}
inline void ntt(int limit,int *a,int inv)
{
for(int i=0;i<limit;++i)
if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
{
int Wn=fast(inv?G:gi,(p-1)/(mid<<1));
for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r)
{
int w=1;
for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn%p)
{
int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%p;
a[j+k]=x+y;
if(a[j+k]>=p) a[j+k]-=p;
a[j+k+mid]=x-y;
if(a[j+k+mid]<0) a[j+k+mid]+=p;
}
}
}
if(inv) return;
inv=fast(limit,p-2);
for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*inv%p;
}
inline void poly_inv(int pw,int *a,int *b)
{
if(pw==1) {b[0]=fast(a[0],p-2);return;}
poly_inv((pw+1)>>1,a,b);
int len=0,limit=1;
while(limit<(pw<<1)) limit<<=1,++len;
for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
for(int i=0;i<pw;++i) c[i]=a[i];
for(int i=pw;i<limit;++i) c[i]=0;
ntt(limit,c,1);ntt(limit,b,1);
for(int i=0;i<limit;++i) b[i]=((2-c[i]*b[i]%p)+p)%p*b[i]%p;
ntt(limit,b,0);
for(int i=pw;i<limit;++i) b[i]=0;
}
inline void main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=fr[n-i]=read();
for(int i=0;i<=m;++i) g[i]=gr[m-i]=read();
for(int i=n-m+2;i<=m;++i) gr[i]=0;
poly_inv(n-m+1,gr,grn);
int limit=1,len=0;
while(limit<=n+n) limit<<=1,++len;
for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
ntt(limit,fr,1);ntt(limit,grn,1);
for(int i=0;i<limit;++i) fr[i]=fr[i]*grn[i]%p;
ntt(limit,fr,0);
for(int i=0;i<=n-m;++i) q[i]=fr[i];
reverse(q,q+n-m+1);
for(int i=0;i<=n-m;++i) printf("%lld ",q[i]);
putchar('
');
ntt(limit,q,1);ntt(limit,g,1);
for(int i=0;i<limit;++i) q[i]=q[i]*g[i]%p;
ntt(limit,q,0);
for(int i=0;i<m;++i) printf("%lld ",(f[i]-q[i]+p)%p);
}
}
signed main()
{
red::main();
return 0;
}